DEF: Zrezaný kužeľ je časť kužeľa nachádzajúca sa medzi podstavou a rovinou rovnobežnou s podstavou, ktorá prechádza kužeľom.


Inak povedané, je to „kužeľ s odrezaným vrcholom“ .


Vzniká rotáciou pravouhlého lichobežníka kolo kratšieho (kolmého) ramena. Rotáciou základní vznikajú podstavy a rotáciou druhého ramena vzniká plášť zrezaného kužeľa.


Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová


 

Povrch zrezaného kužeľa:


S = S1 + S2 + Spl

S = πr12 + πr22 + π(r1 + r2).s = π (r12 + r22) + π(r1 + r2).s


 

Objem zrezaného kužeľa

 

V = 1/3 . π.v .(r12 + r1.r2 + r22)


 

Pr.1. Vypočítajte povrch a objem zrezaného rotačného kužeľa s polomermi podstáv 8cm a 4cm, výškou 5cm.

 

Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová

 

r1 = 8cm

r2 = 8cm

v = 5cm

S, V = ?



Pre výpočet povrchu tohto zrezaného kužeľa budeme potrebovať vedieť veľkosť strany. Vypočítame ju pomocou Pytagorovej vety.


s = √(52 + 42) = √41 = 6,4


S = S1 + S2 + Spl

S = π (r12 + r22) + π(r1 + r2).s

S = 3,14 (82 + 42) + 3,14(8 + 4). 6,4

S = 3,14 . (64+16) + 3,14.12.6,4

S = 3,14 . 80 + 241,152

S = 251,2 + 241,152

S = 492,352 cm2


 

Pre výpočet objemu zrezaného kužeľa máme dané všetky potrebné hodnoty. Tie iba dosadíme do vzorca a vypočítame.


V = 1/3 . π.v .(r12 + r1.r2 + r22)

V = 1/3 . 3,14.5.(82 + 8.4 + 42)

V = 1/3 . 15,7 . 112

V = 574,9 cm3


Povrch daného zrezaného kužeľa je 492,352 cm2 a jeho objem je 574,9 cm3.


 

Pr. 2. Povrch zrezaného kužeľa je 7693 cm2, polomery podstáv sú 28cm a 21cm. Vypočítajte výšku kužeľa.

 

Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová

 

S = 7693 cm2

r1 = 28cm

r2 = 21cm

v = ?

 

- zo vzťahu pre výpočet povrchu zrezaného kužeľa vypočítame dĺžku strany kužeľa.

 

S = π (r12 + r22) + π(r1 + r2).s

7693 = 3,14 (282 + 212) + 3,14(28 + 21).s

7693 = 3,14 . 1225 + 153,86 . s

7693 = 3846,5 + 153,86 . s

3846,5  =153,86 . s

s = 25 cm

 

 

- potom vypočítame pomocou Pytagorovej vety výšku kužeľa.


v = √(252 - 72) = 24 cm

 

Výška daného zrezaného kužeľa je 24 cm.


 

 

Zopakujme si:

 

  1. Charakterizujte vznik zrezaného kužeľa.

  2. Popíšte jednotlivé prvky zrezaného kužeľa.

  3. Ako vypočítame povrch a objem zrezaného kužeľa.

  4. Povrch zrezaného rotačného kužeľa so stranou s = 13 cm je S = 510π cm2. Urči polomery podstáv, keď ich rozdiel dĺžok je 10cm.

  5. Zrezaný rotačný kužeľ má podstavy s polomermi r1 = 8 cm, r2 = 4 cm a výšku v = 5 cm. Aký je objem kužeľa, z ktorého zrezaný kužeľ vznikol?

  6. Daný je zrezaný kužeľ vysoký 30 cm s priemerom dolnej podstavy 10 cm a polomerom hornej podstavy 2 cm. Aký uhol zviera plášť s podstavou?

  7. Daný je kužeľ s polomerom dolnej podstavy 5 cm a hornej podstavy 2 cm. Uhol, ktorý zviera plášť s podstavou je 75°. Vypočítaj objem tohto útvaru.

  8. Zhora otvorená nádrž má tvar zrezaného rotačného kužeľa, ktorý stojí na menšej podstave. Objem nádrže je 465 m3, polomery podstáv sú 4 m a 3 m. Vypočítajte hĺbku nádrže.

  9. Povrch zrezaného rotačného kužeľa je S = 7697 m2, priemery podstáv sú 56 m a 42 m. Vypočítajte výšku telesa.

 



Použitá literatúra:
www.wikipedia.org
vlastné poznámky
Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva