Vypracovala: Mária Martinkovičová


 

 

Prehľad vlastností a vzťahov z planimetrie podľa Cieľových požiadaviek na vedomosti a zručnosti maturantov z matematiky (SPU, 2009):


I. Základné rovinné útvary

a) lineárne útvary

Rozdelenie uhlov vzhľadom na ich polohu:

martinkovicova

Obr. 1

 

Z obr. 1 vidíme, že:

  • súhlasné uhly a tiež striedavé uhly pri dvoch rovnobežkách sú rovnaké

  • vrcholové uhly sú rovnaké

  • súčet susedných uhlov je rovný 180°


 

b) trojuholník

- trojuholníková nerovnosť: úsečky s dĺžkami a, b, c sú stranami trojuholníka vtedy, ak platí: ǀb - cǀ < a < b + c 

- súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°

- pre každý trojuholník platí, že oproti dlhšej strane leží väčší vnútorný uhol a oproti väčšiemu vnútornému uhlu leží dlhšia strana

- ťažnica trojuholníka = úsečka, ktorá spája vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany – Sx (x = strana trojuholníka, napr. a, b, c); miesto, kde sa ťažnice pretínajú = ťažisko trojuholníkaT. Platí pritom, že vzdialenosť ťažiska od vrcholov trojuholníka je rovná dvom tretinám príslušnej ťažnice, napr., pre trojuholník ABC platí:

ǀSaTǀ = 1/3 ta ˄ ǀATǀ = 2/3 ta

(podobne pre ostatné ťažnice)

 

  • kružnica opísaná trojuholníku – taká kružnica, ktorá prechádza každým jeho vrcholom, (jej polomer = r) a jej stred je priesečník osí strán trojuholníka.

  • kružnica vpísaná trojuholníku – taká kružnica, ktorá sa dotýka každej zo strán trojuholníka, (jej polomer = ρ) a jej stred je priesečník psí vnútorných uhlov daného trojuholníka

     

martinkovicova

Obr.: a) kružnica opísaná b) kružnica vpísaná trojuholníku

 

  • obsah trojuholníka S ABC vypočítame:

martinkovicova

martinkovicova

  • pre každý pravouhlý trojuholník ABC platí Pythagorova veta: a2 + b2 = c2

  • kosínusová veta: a2 = b2 + c2 – 2bc cosα; b2 = a2 + c2 – 2ac.cosβ; c2 = a2 + b2 – 2ab.cosγ

  • sínusová veta: hovorí, že pomer všetkých dĺžok strán a hodnôt sínusov im protiľahlých uhlov je v v trojuholníku konštantný:

martinkovicova

martinkovivoa

  • zhodnosť trojuholníkov: dva trojuholníky sú zhodné, ak ich možno premiestniť tak, že splývajú; vety o zhodnosti trojuholníkov:

  • sss: Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú vo všetkých stranách, sú zhodné.

  • sus: Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a v  uhle nimi určenom sú zhodné.

  • usu: Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v jednej strane a  dvoch uhloch k nej priľahlých sú zhodné.

  • Ssu: Každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v dvoch stranách a  uhle ležiacom oproti väčšej z nich, sú zhodné“.1

  • podobnosť trojuholníkov: trojuholník ABC je podobný s trojuholníkom A´B´C´ vtedy, ak platí také reálne číslo k (k = pomer podobnosti), že:

 

ǀA´B´ǀ = kǀABǀ ˄ ǀB´C´ǀ = kǀBCǀ ˄ ǀC´A´ǀ = kǀCAǀ, alebo c´= kc ˄ a´ = ka ˄ b´ = kb; ak k > 1 ⟹ zväčšenie; ak k < 1 ⟹ zmenšenie; k = 1 ⟹ trojuholníky sú zhodné

 

Vety o podobnosti:

  • uu – každé dva trojuholníky, ak sa zhodujú v dvoch uhloch, sú podobné.

  • sus – každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v pomere dĺžok dvoch strán a uhle nimi zovretom, sú podobné

  • Ssu – každé dva trojuholníky, ktoré sa zhodujú v pomere dĺžok dvoch strán a uhle ležiacom oproti väčšej z nich, sú podobné.

 

 

c) Kružnica a kruh

- kružnica k je jednoznačne určená polomerom r a stredom, resp. tromi svojimi bodmi, pričom žiadne tri body kružnice neležia na priamke; je to množina bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S (stred kružnice) konštantnú vzdialenosť - ǀSXǀ = r, r > 0, r ϵ R ⟹k (S;, r)

- kruh K - množina všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu – stredu S vzdialenosť ǀSXǀ ≤ r, r ϵ R, r > 0; ⟹K(S, r)

- úsečku, ktorá spája dva rôzne body kružnice, voláme tetiva

- obsah S = πr2, obvodo = 2πr

 

- Tálesová veta: ak A, B, C sú body na kružnici, kde AC je priemer kružnice, potom uhol ABC je pravý uhol.

- dotykový bod dvoch kružníc – leží na spojnici stredov kružníc; majme dve kružnice k1(S1, r1)k2(S2, r2)T je dotykovým bodom kružníc, t je priamka spoločnou dotyčnicou oboch kružníc:

  • Ak kružnice majú 0 spoločných bodov - nemajú žiadny spoločný bod

  • Ak majú 1 spoločný bod = dotýkajú sa (vonkajší, vnútorný dotyk)

  • Ak majú spoločné dva body = pretínajú sa

  • Ak majú nekonečne veľa spoločných bodov = splývajú

 

- vzájomná poloha kružnice a priamky – skúmame prostredníctvom množstva ich spoločných bodov:

  • sečnica – priamka, ktorá s kružnicou má dva spoločné body

  • dotyčnica – priamka, ktorá má s kružnicou jeden spoločný – dotykový - bod

  • nesečnica – priamka, ktorá nemá s kružnicou žiadny spoločný bod

 

- vzťah pre výpočet dĺžky kružnicového oblúka l:

martinkovicova

 

- výpočet pre obsah kruhového výseku:

martinkovicova

 

 

 

Zopakujte si:

1. Aký je rozdiel medzi kruhom a kružnicou?

2. Zakresli prehľadne na papier vyššie charakterizované vzájomné polohy dvoch kružníc a vzájomné polohy priamky a kružnice.



 

Použitá literatúra:

http://www.statpedu.sk/sk/Statny-vzdelavaci-program/Statny-vzdelavaci-program-pre-2-stupen-zakladnych-skol-ISCED-2/Matematika-a-praca-s-informaciami.alej

http://sk.wikipedia.org/wiki/Trojuholn%C3%ADk#Kos.C3.ADnusov.C3.A1_veta

http://sk.wikipedia.org/wiki/Trojuholn%C3%ADk#Kos.C3.ADnusov.C3.A1_veta

http://sk.wikipedia.org/wiki/T%C3%A1lesova_veta

Červinková, P. - Čermák, P.: Zmaturuj! z matematiky, Didaktis, Bratislava, 2004