Disjunkcia

Disjunkciou výrokov A, B voláme výrok „A alebo B“. Ak aspoň jeden z výrokov, ktoré tvoria disjunkciu, je pravdivý, potom je disjunkcia pravdivá, v opačnom prípade je nepravdivá.

Na zápis disjunkcie používame symbol - ∨, ktorý voláme disjunktor: A ∨ B čítame výrok A alebo výrok B.

Pre disjunkciu platí asociatívny zákon:


(A ∨ B) ∨ C ≡ A ∨ (B ∨ C)


Pozrime sa do tabuľky pravdivostných hodnôt disjunkcie (tab. 2). Ak v 2. a 3. riadku by sme vymenili pravdivostné hodnoty jej zložiek hodnota celej disjunkcie by ostala rovnaká. Z uvedeného teda vyplýva, že disjunkcia je i komutatívna, t. j.:


A ∨ B ≡ B ∨ A


Tabuľka 2: Disjunkcia – Tabuľka pravdivostných hodnôt dvoch výrokov


 

A

B

A ∨ B

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0



Príklad pre 3. riadok tabuľky:


Výrok A: Košice sú hlavným mestom Slovenska. (0)

Výrok B: Košice sú druhým najväčším mestom Slovenska. (1)

A ∨ B: Košice sú hlavným mestom Slovenska alebo sú druhým najväčším mestom Slovenska.

(Košice sú hlavným alebo druhým najväčším mestom Slovenska.)

Negácia disjunkcie


¬ (A ∨ B) je rovná ¬A ∧ ¬B


T. j. v našom príklade:

Výrok A: Košice sú hlavným mestom Slovenska.

Výrok B: Košice sú druhým najväčším mestom Slovenska.


¬A (negácia výroku A): Košice nie sú hlavným mestom Slovenska.

¬B: Košice nie sú druhým najväčším miestom Slovenska.


(A ∨ B): Košice sú hlavným mestom Slovenska alebo sú druhým najväčším mestom Slovenska.

¬ (A ∨ B): Košice nie sú hlavným mestom Slovenska a (zároveň) nie sú druhým najväčším mestom Slovenska.


 

Vzťah medzi disjunkciou a konjunkciou

  1. Zákon distributívny – konjunkcia je distributívna vzhľadom na disjunkciu a naopak:

A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)


  1. Zákon absorpcie – pravdivostné hodnoty v prípade niektorých špecifických disjunkcií a konjunkcií nezávisia od pravdivostných hodnôt všetkých výrokov, z ktorých sú zložené, ale jeden z výrokov, ktoré takúto disjunkciu alebo konjunkciu tvoria, je absorbovaný – t. j., na jej pravdivostnej hodnote sa nijako nepodieľa.

A ∧ (A ∨ B) ≡ A ∨ (A ∧ B) ≡ A


  1. De Morganove zákony: (tieto zákony sme už použili vyššie, pri negácii konjunkcie a disjunkcie)

¬ (A ∧B) ≡ ¬A ∨ ¬B

¬ (A ∨ B) ≡ ¬A ∧¬B




Tabuľka 3: Pravdivostná tabuľka – ukazujúca ekvivalentnosť ¬ (A ∧B) ≡ ¬A ∨ ¬B (1. De Morganov zákon – negácia konjunkcie)

Pre lepšie pochopenie uvádzame celú tabuľku „Konjunkcia – pravdivostné hodnoty“ rozšírenú o stĺpce ¬A , ¬B, ¬ (A ∧B) , ¬A ∨ ¬B.


A

B

A ∧ B 

¬A

¬B

¬ (A ∧B)

¬A ∨ ¬B

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1



Tabuľka 4: Tabuľka pravdivostných hodnôt negácie disjunkcie dvoch výrokov (¬ (A ∨ B) ≡ ¬A ∧¬B)

 

 


A

B

¬ (A ∨ B)

¬A ∧¬B

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1



 

Implikácia


  • každý výrok v tvare „ak A, potom B“.

  • výrok A voláme antecedent

  • výrok B = konzekvent danej implikácie


Implikácia vraví, že ak platí výrok A (antecedent), platí aj výrok B (konzekvent). Ak je:


  • antecedent i konzekvent pravdivý – implikácia je pravdivá;

  • antecedent pravdivý a konzekvent nepravdivý – implikácia je nepravdivá


Implikáciu výrokov A a B zapisujeme: A ⇒ B; čítame: ak výrok A, potom výrok B; symbol ⇒ voláme implikátor.


  • obrátená implikácia k A ⇒ B: B  ⇒ A  (výmena antecedenta a konzekventa)

  • obmenená implikácia k  A ⇒ B: ¬ B  ⇒ ¬A (výmena členov implikácie a ich negovanie)


Implikácia nie je komutatívna, obmenená implikácia s pôvodnou je ekvivalentná:


(A ⇒ B) ≡ ( ¬ B  ⇒ ¬A)


Tabuľka 5: Tabuľka pravdivostných hodnôt implikácie dvoch výrokov


 

A

B

A ⇒ B

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1



Príklad:

Výrok: Ak je šesť hodín ráno, potom je obchod otvorený.

Pre 2. riadok: Ak je šesť hodín ráno (1), potom obchod nie je otvorený (0). Celý výrok je nepravdivý (0), lebo nie je splnená podmienka, že je obchod otvorený, keď je 6 hodín ráno.


 

 

Ekvivalencia

Ekvivalenciu dvoch výrokov, A, B, zapisujeme A ⇔ B, čítame „A práve vtedy, keď B“, operátor voláme ekvivalentor. Túto ekvivalenciu nazývame materiálnou. Materiálna ekvivalencia sa líši od logickej ekvivalencie – logická hovorí, že dva výroky majú vždy, za každého stavu vecí rovnakú pravdivostnú hodnotu, nakoľko tvrdia to isté. Materiálna vyjadruje, že že dva výroky majú rovnakú pravdivostnú hodnotu za daného stavu vecí – teda sleduje len pravdivostnú hodnotu výrokov, nie ich štruktúru.

Ak sú výroky A a B logicky ekvivalentné, sú ekvivalentné i materiálne, no nemusí platiť, že ak sú dva výroky materiálne ekvivalentné, sú i logicky ekvivalentné.

Príklad ekvivalencie: „Číslo je deliteľné dvoma práve vtedy, keď je párne“. Pri ekvivalencii čakáme, že buď platia obidva výroky (pravdivá), alebo neplatí ani jeden (v tom prípade je nepravdivá). Kedy bude teda celá veta pravdivá? Buď je číslo párne a zároveň je deliteľné dvoma, alebo neplatí ani jedno z toho – nemôže nastať situácia, že by nejaké číslo bolo párne ale nebolo by deliteľné dvomi.

Ekvivalenciu možno vyjadriť pomocou dvoch implikácii: A ⇔ B môžeme napísať ako A ⇒ B a súčasne B ⇒ A. Hovoríme o obojsmernej implikácii (keďže platí):


A ⇔ B ≡ ( A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)


 

Tabuľka 5: Tabuľka pravdivostných hodnôt ekvivalencie dvoch výrokov:


 

A

B

A ⇔ B

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1


V tabuľke 5, v 2. a 3. riadku, kde sú hodnoty členov ekvivalencie vzájomne vymenené, má ekvivalencia rovnakú pravdivostnú hodnotu – teda, ekvivalencia je komutatívna.



Tabuľka 6: Tabuľka všetkých spojok


A

B

A ∧ B

A ∨ B

A ⇒ B

A ⇔B

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

 



Zopakujte si:
1. Majme výrok A: Číslo 9 je deliteľné 3. Výrok B: Číslo 9 je nepárne. Disjunkcia výrokov: (A v B) = ? Nájdite výrok ¬ (A ∨ B).
2. Vyjadri ekvivalenciu výrokov A a B a negáciu ekvivalencie ako konjunkciu disjunkcií.
3. Aká je pravdivostná hodnota výroku R, ak platí implikácia ¬ R ⇒ R?

Použitá literatúra:
http://sk.wikipedia.org/wiki/V%C3%BDrokov%C3%A1_logika
http://www.matweb.cz/vyroky-priklady#gsc.tab=0
http://www.nabla.cz/soubory/matematika/vyrokova-logika-1.pdf
http://www.nabla.cz/soubory/matematika/vyrokova-logika-2.pdf
http://www.matweb.cz/vyroky#gsc.tab=0
http://new.dcs.fmph.uniba.sk/files/texty/ZbierkaUlohZVyrokovejLogiky.pdf
http://theoriginal1701.hubpages.com/hub/De-Morgans-Laws
vlastné poznámky