Príklad: V triede je 32 žiakov, z toho na flautu vie hrať 26 žiakov, na klavír 14 žiakov, súčasne na oba nástroje 12 žiakov.

a) Koľko žiakov nevie hrať ani na jeden nástroj?

b) Koľko žiakov vie hrať len na klavír?

c) Koľko žiakov vie hrať len na flautu?


Riešenie:

Príklad by sme samozrejme mohli riešiť úvahou a bolo by to oveľa rýchlejšie. Ukážeme s však na ňom, ako možno použiť Vennové diagramy pri riešení takýchto úloh.


Najprv si nakreslíme prázdne Vennové diagramy pre jednotlivé množiny:

 

martinkovicova

 

 

Pre zjednodušenie si označíme jednotlivé polia:

žiaci, ktorí vedia hrať na flautu ⟹ množina a

žiaci, ktorí vedia hrať na klavír ⟹ množina c

žiaci, ktorí vedia hrať na flautu aj klavír ⟹ množina b (prienik množín b)

žiaci, ktorí nevedia hrať ani na jeden nástroj ⟹ množina d


martinkovicova

 

 

Máme 4 premenné, zostavíme si rovnice:

Všetkých žiakov je 32: a + b + c + d = 32

Na flautu vie hrať 26 žiakov: a + b = 26

Na klavír vie hrať 14 žiakov: b + c = 14


Do 2. rovnice dosadíme b (12): a + 12 = 26 a = 14

Do 3. rovnice dosadíme b (12): 12 + c = 14 c = 2

Do 1. rovnice dosadíme a, b, c: 14 + 12 + 2 + d = 32 d = 4


Do obrázka zapíšeme počty:


martinkovicova

 

 

A môžeme odpovedať na otázky:

Len na flautu (množina a) vie hrať 14 žiakov; len na klavír (množina c) hrajú 2 žiaci a ani na jeden nástroj (množina d) nevedia hrať 4 žiaci.


 

 

Príklad: Do ľudovej školy umenia chodí 130 žiakov. Na škole sa vyučuje hra na flautu, gitaru a klavír. Vieme že:

  • Každý žiak sa učí hrať aspoň na jeden nástroj.

  • Na všetky tri sa učia hrať 20 žiaci.

  • Na flautu a gitaru sa učí hrať toľko isto žiakov ako na flautu a klavír.

  • Na gitaru a klavír sa učí hrať 10 žiakov.

Koľko žiakov sa učí hrať na jednotlivé nástroje?


Riešenie:

Zaznačíme si prázdne Vennove diagramy pre jednotlivé množiny: flauta (F), klavír (K), gitara (G).


martinkovicova

 

 

Vieme, že dvadsiati žiaci sa učia hrať na všetky tri nástroje súčasne:


martinkovicova

 

 

Vieme, že na flautu a klavír sa učí hrať toľko isto žiakov, ako na flautu a gitaru ⟹ obe skupiny (F + G) a (F + K) si označímex.

Na gitaru a klavír sa učí hrať 10 žiakov. Zaznačíme teda:


martinkovicova

 

 

Teraz môžeme zostaviť rovnicu: