Vypracoval:Vítek

 

 

Pri variáciách sme predpokladali, že sa ani jeden prvok nesmie opakovať. Pri variáciách s opakovaním, ako už z názvu vyplýva, sa naopak prvky opakovať môžu. Na ilustráciu jednoduchý príklad.

Koľkými spôsobmi môžeme zakódovať zámok na bicykel, ak kód je trojmiestny?

Prvé číslo môžeme vyberať z číslic 0, 1, ..., 9, druhé a tretie tak isto.

Teda máme 10 . 10 . 10 = 1000 možností.

Z toho vyplýva aj veľmi jednoduchý vzťah na výpočet počtu variácií k-tej triedy z n prvkov s opakovaním, ktorý zapisujeme:

 

V ΄k ( n ) = nk

 

 

Okrem variácií s opakovaním sa v kombinatorike ešte vyskytujú aj variácie bez opakovania, permutácie a samozrejme kombinácie. Je veľmi dôležité pochopiť rozdiel medzi nimi, čo v praxi znamená správne si odpovedať na dve základné otázky:

 

  1. Záleží na poradí prvkov?

  2. Môžu sa prvky opakovať?

 

 

Záleží na poradí prvkov?

 

Môžu sa prvky opakovať?

 

Variácie bez opakovania

Áno

Nie

Variácie s opakovaním

Áno

Áno

Kombinácie

Nie

Nie

 

Ako je z predchádzajúcej tabuľky jasné, pri variáciách s opakovaním záleží na poradí prvkov a prvky sa môžu opakovať.

 

Ďalej jednoduchý príklad:

Koľko rôznych telefónnych staníc môžeme zapojiť, ak sú všetky telefónne čísla šesťmiestne a ani jedno sa nezačína nulou?

Najskôr malá úvaha.

Na poradí prvkov záleží, lebo telefónne číslo 123 456 má určite iná telefónna stanica ako telefónne číslo 654 321.

Tiež prvky sa môžu opakovať napr. 523 666.

A teraz samotný výpočet:

Počet všetkých šesťmiestnych čísel je:

 

V ΄6 ( 10 ) = 106 = 1000000

 

Medzi týmito číslami sú však aj tie, ktoré začínajú nulou. Tie musíme vylúčiť. Ich počet je:

 

V ΄5 ( 10 ) = 105 = 100000


Teda počet hľadaných telefónnych čísel je:

 

V ΄6 ( 10 ) – V ΄5 ( 10 ) = 106 – 105 = 1000000 –
100000 = 900000

Najdôležitejšie je veľmi pozorne si slovnú úlohu prečítať a správne si odpovedať na spomínané dve otázky, čím si príklad správne zaradíme do správnej kategórie v tabuľke.


Ďalší príklad:

Koľko štátnych poznávacích značiek, začínajúcich sa na BA môžeme vytvoriť, ak za tromi číslami nasledujú ešte dve písmená? ( máme k dispozícii 27 písmen)

 

Napr. BA 629 CU

Ideme vyrábať podobné značky.

Trojice čísel:

 

V ΄3 ( 10 ) = 103 = 1000

 

Dvojicepísmen:

 

V ΄2 ( 27) = 272 = 729

 

Výsledný počet všetkých ŠPZ potom vypočítame:

 

V ΄3 ( 10 ) . V ΄2 ( 27) = 729000

 

Na záver príklad:

Koľko rôznych päťciferných prirodzených čísel, väčších ako 30000 môžeme napísať z číslic 0, 1, 2, 3?

Tu je jasné, že ide o variácie s opakovaním, lebo máme k dispozícii štyri čísla a z nich máme vytvárať päťciferné čísla.

Každé číslo musí mať na prvom mieste číslicu tri a na ďalšie štyri miesta môžeme kombinovať hociktoré z číslic 0, 1, 2, 3. Teda:

 

V ΄4 ( 4 ) = 256 medzi týmito číslami je však aj číslo 30000, ktoré nevyhovuje

zadaniu príkladu

 

Konečný výsledok je preto 256 – 1 = 255