Vypracovala: Petra Podmanická

 

 

Newton – Leibnizova veta

 

Neurčitý integrál je na rozdiel od určitého integrálu, ktorý je v podstate množina funkcií, číslo. Avšak je medzi nimi vzťah, a to, že neurčitý integrál je akousi podmnožinou určitého integrálu. Tento fakt vyjadruje práve Newtonova – Leibnizova veta. Jej matematický zápis vyzerá asi takto :

V prípade, že máme na intervale <a,b> určený nejaký medzi bod c a platí, že a < c < b, tak vzťah pre výpočet určitého integrálu prechádza do tvaru :

Výraz na ľavej strane je teda integrál určitý v hraniciach od a → b a na pravej strane sú dva integrály neurčité.

Platí podmienka, že funkcia f(x) musí byť na intervale <a,b> spojitá!!!

 

Určitý integrál má využitie vo viacerých odvetviach, ako napríklad aplikovaná matematika, fyzika, stavebné inžinierstvo, poistná štatistika, poistná a finančná matematika, návrhy rôznych chemických prevádzok. Pomocou integrálu sa dá vypočítať koľko metrov prejde auto za určitý čas ak ide rýchlosťou, ktorá nie je konštantná...a množstvo iných aplikácií.

My sa však budeme zaoberať jednoduchším využitím určitého integrálu, a to na výpočet obsahu plochy a objemu telies.

 

Výpočet obsahu plochy

 

- existujú tri možnosti vzniku určitej plochy:

 

1.  plocha je daná dvoma (alebo viacerými) funkciami f(x) a g(x ) spojitými na intervale <a,b>, pričom platí: f(x) > g(x),

 

2.  plocha je tvorená funkciou (funkciami) f(x) spojitou na intervale <a,b> a súradnicovou osou x a celá časť plochy, ktorú treba počítať sa nachádza nad osou x

 

3.  plocha je tvorená funkciou (funkciami) f(x) spojitou na intervale <a,b> a súradnicovou osou x a celá časť plochy, ktorú treba počítať sa nachádza pod osou x

 

 

- na výpočet takýchto plôch boli odvodené nasledovné vzťahy:

 

 

Riešené príklady

 

Vypočítajte obsah plochy tvorenej funkciou y = sin x a osou x na intervale <0, 2π>

 

Riešenie:

 

Načrtneme si graf funkcie a určíme plochu, ktorú treba vlastne vypočítať:

 

 

Z grafu vidíme, že funkcia je osou x rozdelená na dve časti, v ktorej jedna sa nachádza v kladnej (K) a druhá v zápornej (Z) polovici → ak by sme os x prehlásili za funkciu g(x) a vychádzali by sme zo vzorca (1) v časti 1.2, tak pod integrálom by sme mali v kladnej časti výraz [f(x)-g(x)] a v tej zápornej by to bol výraz [g(x)-f(x)].

 

Celá plocha je daná súčtom oboch týchto plôch. Na výpočet jednotlivých plôch použijeme vzorec 2 v časti 1.2 pre kladnú časť plochy a vzorec 3 pre časť plochy, ktorá je pod osou.

 

Výpočet:

 

Vypočítajte obsah plochy tvorený funkciami

5y = x2 – 10x + 34

5y = -3x2 + 18x +10

 

Riešenie:

V prvom rade treba určiť body, v ktorých sa tieto dve funkcie pretínajú. To zistíme tak, že tieto dve funkcie porovnáme (nakoľko obe sú v tvare 5y nie je potrebné ich tou 5 teraz predeľovať):

 

Teraz môžeme počítať. Využijeme k tomu vzorec (1) v časti 1.2. Pre jednoduchosť výpočtu si ho rozdelíme na dve časti. Najskôr vypočítame integrál jednej funkcie, potom druhej a nakoniec ich od seba odpočítame. To, ktorú od ktorej budeme odpočítavať zistíme jednoduchým spôsobom: menšiu od väčšej, nakoľko plocha nesmie byť záporná.

 

Výpočet:

 

Výpočet objemu telies

 

- objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou rovinnej oblasti ohraničenej grafom funkcief ≥ 0, (priamkami x = a, x = b) a osou ox v intervale <a, b> okolo osi ox vypočítame pomocou integrálu :

- objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou rovinnej oblasti ohraničenej grafmi funkcií f ≥ g ≥ 0 (a priamkami x = a, x = b) v intervale <a, b> okolo osi ox vypočítame pomocou integrálu:

Príklad

 

Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou priamok y = x2; y = 4 okolo osi x

 

Riešenie:

V prvom rade je potrebné určiť hranice. Tak ako v predchádzajúcom príklade, hranice určíme porovnaním oboch funkcií:

 

x2 = 4

x2 – 4 = 0

(x – 2)(x + 2) = 0

x1 = -2; x2 = 2

 

Na výpočet využijeme vzťah:  a opäť si rozdelíme vzťah na dve polovice a odčítavať budeme tak, aby sme dostali kladnú hodnotu objemu.

 

Výpočet:


 

 

Neriešené príklady

(1) Vypočítajte obsah telesa, ktorý je ohraničený funkciou y = 1/(x2), osou x a priamkami x =1; x = 10

(2) Vypočítajte objem rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou priamok y = x2; x = y2 okolo osi x

 

Výsledky

(1) 0,9

(2) 3π/10