Vypracovala: Mgr. Mária Martinkovičová, PhD.

 



Trojuholník je rovinný geometrický útvar. Má 3 vrcholy, 3 vnútorné uhly, a 3 strany. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°.

 

 

Zdroj: http://www.tutorvista.com/math/angle-bisector-theorem

 

Obr. 1: Trojuholník


 

Vrcholy trojuholníka sú každé tri body neležiace na jednej priamke, určujúce trojuholník – napr. na obr. 1 sú to body X, Z, Y.


Strany trojuholníka sú úsečky, ktoré dané vrcholy trojuholníka spájajú – v našom prípade strany x (strana ležiaca oproti bodu X), y z.


Trojuholníková nerovnosť znamená, že súčet dĺžok dvoch strán je väčší ako dĺžka tretej strany.

 

Dva rôzne trojuholníky môžu byť zhodné (podobné) - pri určovaní, podobnosti, resp. zhodnosti trojuholníkov, používame vety sss, sus, alebo usu.


Pre jednotlivé vety platí: Každé dva trojuholníky sú zhodné, ak:


    • s-s-s - ak sa zhodujú vo všetkých troch stranách.

    • s-u-s - ak sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi určenom.

    • u-s-u - ak sa zhodujú v jednej strane a dvoch uhloch k nej priľahlých.



Vnútorné uhly trojuholníka sú uhly, ktorých vrcholy sú vrcholmi trojuholníka a v ktorých ramenách ležia dve strany trojuholníka, napr., na obr. 2 – sú to uhly označené ako a, b a y.

 

Vnútornému uhlu trojuholníka „susedí“ vonkajší uhol, ktorý má vždy rovnakú veľkosť, ako súčet jeho protiľahlých vnútorných uhlov, napr. na obr. 2 veľkosť vonkajšieho uhla označeného ako „x“ je daná súčtom uhlov „a“ a „b“.



Zdroj: http://www.winpossible.com/lessons/Geometry_Triangle_Angle-Sum_Theorem.html

 

Obr. 2: Vnútorné uhly trojuholníka



Trojuholníky rozdeľujeme podľa:

 

  1. relatívnej dĺžky jeho strán – poznáme:

 

    • rovnostranný (a rovnakouhlý) trojuholník - všetky strany majú rovnakú dĺžku, a všetky jeho uhly majú rovnakú veľkosť, a to 60°.

    • rovnoramenný trojuholník - má dve strany (ramená) rovnakej dĺžky. Tretia strana sa volá základňa. Rovnoramenný trojuholník má dva rovnaké vnútorné uhly.

    • rôznostranný trojuholník - má všetky strany rôzne dlhé; vnútorné uhly takéhoto trojuholníka majú rôznu veľkosť.


     

    1. veľkosti vnútorných uhlov delíme ďalej na:

     

      • ostrouhlý trojuholník - všetky vnútorné uhly má ostré (veľkosť uhlov je do 90)

      • tupouhlý trojuholník - jeden vnútorný uhol má tupý (veľkosť takéhoto uhla je v rozmedzí 90 - 180)

      • pravouhlý trojuholník - jeden vnútorný uhol má pravý, (má 90⁰) Strany v pravouhlom trojuholníku, ktoré zvierajú pravý uhol voláme odvesny, preponou nazývame stranu ležiacu oproti pravému uhlu – je to najdlhšia strana v pravouhlom trojuholníku.

         

         

      V pravouhlom trojuholníku platí Pytagorova veta:


      c2 = a2 + b2


      Slovami Pytagorovu vetu vyjadríme nasledovne:

       

      Obsah štvorca nad preponou c pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad jeho odvesnami a a b.


      Obrátená Pytagorova veta:


      Ak pre veľkosť strán a, b, c trojuholníka platí vzťah c² = a² + b² potom je tento trojuholník pravouhlý s preponou c a odvesnami a, b.



      Pomocou obrátenej Pytagorovej vety vieme zistiť, či je trojuholník pravouhlý alebo nie – bez toho, aby sme museli rysovať, a merať uhly.

       

       

      Pre pravouhlý trojuholník platia aj goniometrické funkcie, ktoré vyjadrujú pomer medzi jednotlivými stranami a uhlami:


        1. sínus (sin) uhla - vypočítame ako pomer veľkostí protiľahlej odvesny a prepony trojuholníka – napr., pre uhol označený ako „A“ na obr. 3:

       

      sinA=\frac{a}{c}

       

        1. kosínus (cos) uhla - vypočítame ako pomer veľkostí priľahlej odvesny a prepony trojuholníka:


          cosA=\frac{b}{c}

           

        1. tangens (tg) uhla - vypočítame ako pomer veľkostí protiľahlej odvesny a priľahlej odvesny trojuholníka:

           

          tgA=\frac{a}{b}

           

        1. kotangens (cotg) uhla - vypočítame ako pomer veľkostí priľahlej odvesny a protiľahlej odvesny trojuholníka:


      cotgA=\frac{b}{a}

       

       

      Zdroj: http://www.glue-it.com/model-engineering/general-information/glossary/p/pythagoras.html

       

      Obr. 3: Pravouhlý trojuholník



       

      V trojuholníku poznáme tieto dôležité body a čiary:

       

      • stredné priečky trojuholníka – rozdeľujú trojuholník na štyri zhodné trojuholníky. Je to spojnica stredov dvoch strán trojuholníka, ktorá je rovnobežná s treťou stranou. Dĺžka spojnice je polovica dĺžky strany, s ktorou je rovnobežná

      • výška trojuholníka „v“ - úsečka prechádzajúca vrcholom trojuholníka, je kolmá na protiľahlú stranu. Všetky tri výšky prechádzajú v trojuholníku jedným bodom, ktorý nazývame ortocentrum trojuholníka „O, ktoré môže byť vo vnútri - ak je trojuholník ostrouhlý, na obvode -ak je pravouhlý alebo mimo trojuholníka - ak je tupouhlý (v prípade tohto typu trojuholníka hovoríme nie o výške trojuholníka, ale o predĺžení – výškou resp. predĺžením je kolmica spustená na predĺženie protiľahlej strany).

      • ťažnica trojuholníka – „t“spája vrchol trojuholníka a stred protiľahlej strany. Ťažiskom trojuholníka Tnazývame bod, v ktorom sa pretínajú všetky ťažnice trojuholníka a ktorý rozdeľuje každú ťažnicu na dve časti – pričom pomer veľkostí takto rozdelenej ťažnice je 1:2. Väčšia časť ťažnice je pri vrchole trojuholníka.

      • osi strán trojuholníka priamky prechádzajúce stredmi strán a sú na nich kolmé. Osi strán sa pretínajú v jednom bode – priesečník, ktorý je rovnako vzdialený od všetkých troch vrcholov trojuholníka a je stredom trojuholníku opísanej kružnice.

      • osi vnútorných uhlov rozdeľujú vnútorné uhly na dve polovice. Ich priesečník - bod, v ktorom sa osi vnútorných uhlov pretínajú, tvorí stred trojuholníku vpísanej kružnice. Priesečník osí vnútorných uhlov je rovnako vzdialený od všetkých strán trojuholníka.


       

       

      Obvod „o“ a obsah „S“ trojuholníka:


      Obsah trojuholníka počítame ako polovicu súčinu strany a výšky na danú stranu.


      S=\frac{a.V_{a}}{2}


      Obvod trojuholníka počítame ako súčet dĺžok jeho strán.

       

      o = a + b + c

       

      Pre rovnostranný trojuholník platí:

       

      S=\frac{a^{2}.\sqrt[]{2}}{4}

       

      o = 3a



      Precvič si:


      1.Jankov dedko chce oplotiť záhradu tvaru trojuholníka, a vnuka požiadal aby mu vypočítal, koľko metrov pletiva má kúpiť aby mu vystačilo na celú záhradu. Veľkosť jednej strany záhrady je 37 m, druhej 69 m, veľkosť tretej strany nie je odmeraná. Pomôž Jankovi vyrátať, koľko pletiva má jeho dedko kúpiť!

       

      2. Ak majú vrcholy trojuholníka súradnice [6; 5][4; -1][-1; 2] aký bude jeho obsah a obvod?

       

      3. Ak veľkosti vnútorných uhlov trojuholníka XYZ sú v pomere 3:4:5 urč, či ide o trojuholník rovnoramenný, rovnostranný, tupouhlý alebo ostrouhlý.

       

      4. Trojuholníku ABC je opísaná kružnica so stredom v bode S a polomerom 7 cm. Vypočítajte obsah vyfarbenej časti kruhu ak veľkosť úsečky AC je 10 cm.


      zdroj: Mgr. Mária Martinkovičová, PhD.



      Použitá literatúra:


      Vlastné poznámky

      Šedivý, O. a kol.: Matematika pre 6. Ročník, SPN, Bratislava

      Šedivý, O. a kol.: Matematika pre 8. Ročník, SPN, Bratislava

      Koreňová, L.: Zvládni prijímacie skúšky z matematiky na stredné školy, Aktuell, Bratislava, 2007, ISBN 80-89153-32-1

      www.goblmat.eu

      http://vdp.sk/skola/Arch%C3%ADv_prij%C3%ADmac%C3%ADch_testov_na_gymn%C3%A1zi%C3%A1

      www.studentske.sk/matematika/upload/Trojuholnik.doc




      Zdroje obrázkov:


      http://www.tutorvista.com/math/angle-bisector-theorem

      http://www.winpossible.com/lessons/Geometry_Triangle_Angle-Sum_Theorem.html

      http://www.glue-it.com/model-engineering/general-information/glossary/p/pythagoras.html