Pre pravouhlé trojuholníky poznáme Pytagorovu vetu či definície goniometrických funkcií. Trojuholníky však nie sú všeobecne pravouhlé – t.j. zatiaľ ich nevieme dopočítať. Pre všeobecný trojuholník máme obdobu goniometrických funkcií či Pytagorovej vety vo forme sínusovej kosínusovej vety.

Využívame ich napr. pri zameriavaní a meraní vzdialenosti, triangulačnej sieti. Pri metóde triangulačných sietí sa starostlivo zmeria vzdialenosť dvoch bodov v krajine, z ktorých sa vztýčia trojuholníky – z vrcholov na viditeľných miestach. V týchto trojuholníkoch potom sa dopočítajú veľkosti ostatných strán. Získame tak sieť trojuholníkov pokrývajúcich určité územie. Vrcholy týchto trojuholníkov potom umožňujú zamerať ďalší ľubovoľný bod v danej krajine.


http://www.gis.zcu.cz/studium/gen1/html-old/ch03.html

Obr.: Triangulačná sieť (astronomicko – geodetická sieť)



Sínusová veta: Pre každý trojuholník ABC, s vnútornými uhlami α, β, γ a stranami dĺžkami a, b, c, platí:

martinkovicova

 

Alebo:

Pre každý trojuholník platí, že pomer strany a sínusu protiľahlého uhla je vždy rovnaký.


 

Príklad 1: Vypočítaj zvyšné uhly zvyšné uhly a strany v trojuholníku ABC, ak vieme že b = 51 cm a α = 61°30´ γ = 8°10´.


Riešenie:

b = 51 cm

α = 61°30´

γ = 8°10´

β = ?

a, c = ?


Najskôr si vypočítame uhol β. Vieme že súčet vnútorných uhlov akéhokoľvek trojuholníka je 180°, teda:

β = 180° - (α + γ) = 180° - (61°30´ + 8°10´) = 180° - 69°40´ = 110°20´


Ďalej použijeme sínusovú vetu:

martinkovicova


V trojuholníku ABC platí: a = 47,47 cm, b = 51 cm, c = 7,55 cm, α = 61,5°, β = 110°20´, γ = 8°10´.


 

Príklad 2: Vrchol stožiara, stojaceho na rovine, vidíme z povrchu zeme z miesta A vo výškovom uhle α = 39°25´. Ak podídeme smerom k stožiaru 50 m, na miesto B, vidíme z neho vrchol stožiara vo výškovom uhle 58°42´. Vypočítaj výšku stožiara.


Riešenie:

martinkovicoa

 

1. Vypočítame uhol β: β je vedľajší uhol k uhlu β´, t.j. vieme súčet vedľajších uhlov je rovný 180°. (viď obr.)

2. Vypočítame uhol γ: opäť vychádzame z toho, že súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180°, teda:

γ = 180° - (α + β) = 180° - (39°25´ + 121°18´) = 19°17´.

3. Použitím sínusovej vety vypočítame a:

martinkovicova

4. Keďže predpokladáme, že stožiar stojí kolmo na zem, a zviera s ňou pravý uhol, na výpočet jeho výšky použijeme známe definície goniometrických funkcií, platných pre pravouhlý trojuholník, teda:

v = 96,64*sin58°42´

v = 96,64 * 0,8480

v = 81,95 m


Stožiar je vysoký 81,95 m.



Zopakujte si:
1. Použitím sínusovej vety dopočítaj zvyšné strany a uhly trojuholníka KLM, ak: m =20 cm a uhol pri vrchole K =105°, pri vrchole L =30°
2. Posed je vysoký 15 metrov, od brehu rieky je vzdialený 30 m. Pomocou sínusovej vety vypočítaj šírku rieky, ak z posedu sa jej šírka javí v zornom uhle γ = 15°.
3. Čo je to triangulačná sieť?
4. Platí sínusová veta i pre pravouhlý trojuholník?

Použitá literatúra:
vlastné poznámky
http://maths.cz/clanky/sinova-a-kosinova-veta.html
http://www.realisticky.cz/ucebnice.php?id=2

Zdroje obrazkov:
http://www.gis.zcu.cz/studium/gen1/html-old/ch03.html