Vypracovala: Mgr. Mária Martinkovičová, PhD.

 

 

Nasledujúce príklady sú podobné tým, s ktorými sa už niektorí stretli na prijímacích pohovoroch na strednú školu. Najprv si ich skús vypočítať sám, potom si svoje riešenia over nižšie.

 

Zadania

1. Daný je rovnobežník so stranou a = 8,5 cm a obsahom S = 34 cm². Aké je výška tohto rovnobežníka?

2. Okno na kostole má tvar kruhu s priemerom 50 cm. V ňom je farbami na sklo namaľovaný kríž (viď obr.), zložený z piatich zhodných štvorcov. Aký obsah má kríž?

3. Daný je lichobežník ABCD, a = 12 cm, c = 8 cm. Strana c je zároveň základňou trojuholníka DCX, pričom X leží na strane a a obsah trojuholníka DCX je 16 cm². Aký je obsah lichobežníka ABCD?

4. Určte veľkosť úsečky ǀNYǀ v rovnoramennom lichobežníku KLMN na obr. 2, ak vieme, že úsečka ǀTYǀ rozdeľuje lichobežník na dve časti s rovnakým obsahom.

Obr. 2

5. Vypočítaj obvod a obsah kosoštvorca, ktorého jedna uhlopriečka má dĺžku 2,4 dm a hrana má dĺžku 1,5 dm.

 

 

Riešenia:

1.

Výšku rovnobežníka vypočítame zo vzorca pre výpočet obsahu, t.j. zo vzťahu S = a.v_a⟹

Veľkosť výšky rovnobežníka je 4 cm.

 

2. Kríž zložený z 5 zhodných štvorcov, so stranou a. Teda, dokreslíme obrázok:

KLMN ⟹ obdĺžnik; ǀKLǀ = 3a (a je strana 1 štvorca)

ǀLMǀ = a

l = uhlopriečka obdĺžnika KLMN = priemer okna (kruhu) = 50 cm

 

KLM ⟹ pravouhlý trojuholník → pomocou Pytagorovej vety vypočítame a:

l²= ǀKLǀ² + ǀLMǀ²

l² = (3a)² + a²

50² = 9a² + a²

2500 = 10a²

 

a² = 250⟹ obsah jedného štvorca; kríž je zložený z 5 zhodných štvorcov, teda obsah kríža vypočítame 5.a²= 5 . 250 = 1250 cm²

Obsah kríža je 1250 cm².

3.

a = 12 cm

c = 8 cm

S_DCX = 16 cm²

 

v = ? (⟹ výška lichobežníka je v našom prípade zhodná s výškou na základňu trojuholníka DCX ⟹ výšku v vypočítame zo vzťahu pre výpočet obsahu trojuholníka)

 

S_ABCD = ?

Obsah lichobežníka počítame podľa vzťahu:

Obsah lichobežníka je 40 cm².

 

4. Úsečka TY rozdeľuje lichobežník KLMN na dva lichobežníky KTYN a TLMY, pričom obsahy oboch sa rovnajú, teda:

S_KTYN = S_TLMY

9 + ǀNYǀ = 3 + (8 - ǀNYǀ)

2ǀNYǀ = 2 

ǀNYǀ = 1 cm

Skúška: Obsahy sa musia rovnať:

 

Dĺžka úsečky ǀNYǀ je 1 cm.

 

5. Vieme, že uhlopriečky sa v kosoštvorci polia a zvierajú pravý uhol:

 

Na výpočet u₁použijeme teda Pytagorovu vetu:

1,5² = ½ u₁² + 1,2²

½ u₁² = 2,25 – 1,44

½ u₁ = √0,81 = 0,9 dm ⟹u₁= 0,9 . 2 =1,8 dm

Teraz môžeme vypočítať obsah kosoštvorca podľa vzorca:

 

Obvod kosoštvorca vypočítame jednoducho:

o = 4.a = 4.1,5 = 6 dm

 

 

Zopakujte si:

1. Majme rovnobežník so stranou a = 1 dm a obsahom S = 343 cm². Aké je výška tohto rovnobežníka?

2. Aký je obvod kríža z úlohy 2?

 

 

Použitá literatúra:

Ištoková, A.: Riešené testy z matematiky na prijímacie skúšky na SŠ, Monitor 9, SPN, Bratislava, 2007

http://www.zkousky-nanecisto.cz/download/gymply-9-asdaw/9-trida.php