Vypracovala: Mgr. Mária Martinkovičová, PhD.

 


 

Pomer

 

V jednom celku, ktorý je zložený z dvoch zložiek, môžeme tieto zložky popísať tým, že uvedieme, v akom pomere sú zastúpené. Pomer je teda vzťah medzi dvoma alebo viac zložkami. Pre ľahšie pochopenie si môžeme uviesť príklad triedy, kde je 14 chlapcov a 7 dievčat – potom hovoríme, že chlapci a dievčatá sú zastúpené v pomere 14 : 7 (alebo prevrátený pomer - 7 : 14 – je to pomer, ktorý dostaneme, ak vzájomne vymeníme čísla, ktoré sú v pomere).

 

Ak čísla v pomere vynásobíme alebo vydelíme rovnakým číslom rôznym od nuly, pomer ostane rovnaký, napríklad vo vyššie uvedenom príklade môžeme napísať, že pomer chlapcov a dievčat je 2 : 1.

 

Podiel (pomer) môžeme zapísať aj zlomkom, napr. 14/7 – ale ak by sme mali pomer napr. jabĺk a hrušiek v pomere 3 : 0 – potom by zlomok (podiel) 3/0 nemal zmysel.


 

Ak je pomer dvoch čísel:

 

  • > 1 = hovoríme, že ide o zväčšenie (napr. 3 : 1)

  • < 1 = hovoríme o zmenšení (283 : 2145)

 

 

V prípade, že sa dva pomery rovnajú – hovoríme u úmere. Tá je správna v tom prípade, ak sa súčin vnútorných členov úmery rovná súčinu vonkajších členov úmery.

 

 

Napríklad, majme pomery:

 

12 : 8

15 : 10

 

Keďže: 12 . 10 = 8 . 15, môžeme napísať: 12 : 8 = 15 : 10



 

Priama úmera


O priamej úmere hovoríme vtedy, ak sa „niečo“ mení úmerne v závislosti na nejakej hodnote - teda v akom pomere sa zmenší alebo zväčší jedna veličina, v rovnakom pomere sa zmenší alebo zväčší druhá veličina.


S priamou úmerou sa denne stretávame napr. pri nákupe: Ak za jedno pečivo zaplatíme 0,10 €, za dve rovnaké pečivá zaplatíme 0,20€, za tri 0,30 €, za 10 pečív 1€, atď..

 

Grafom priamej úmernosti je priamka.


 

Napríklad, ak sa cyklista pohybuje konštantnou rýchlosťou, za každú hodinu prejde 20km a jeho cieľ je vzdialený od štartu 120 km, potom závislosť dĺžky prejdenej trasy od času znázorňuje graf na obr. č. 1. Vzťah priamej úmernosti je vzťah medzi dvoma veličinami – v našom prípade vzťah medzi veličinami t (čas - počet hodín) a d (počet prejdených kilometrov za jednotku času).

 

 

Tabuľka 1: Tabuľka priamej úmernosti:

 


 

(t -čas v hod)

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

 

5

 

 

6

 

 

dĺžka trasy d (v km)

 

 

20

 

 

40

 

 

60

 

 

80

 

 

100

 

 

120

 

 

pre d platí: d = 20.t (hodnotu „20“ nazývame aj konštanta úmernosti, vo všeobecnosti označujeme písmenom „k“)

 

zdroj: Mária Martinkovičová

 

Obr. 1: Graf priamej úmernosti



 

Nepriama úmera

 

nepriamej úmere hovoríme vtedy, ak platí: v akom pomere sa zmenší jedna veličina, v takom pomere sa zväčší druhá veličina (alebo naopak).

 

Najjednoduchším príkladom na nepriamu úmeru je príklad, kedy jeden traktor orie pole dve hodiny, dva traktory budú orať pole jednu hodinu.


 

Napríklad, ak 5 brigádnici zozbierajú ovocie v záhrade za 150 hodín. Koľko brigádnikov musí pracovať v záhrade, aby zozbierali ovocie za 250 hodín?

 

x (počet brigádnikov)

5

?

y (počet hodín na obratie)

150

250


 

Pre nepriamu úmeru platí všeobecne: y = k/x (k – konštanta nepriamej úmery)

 


Teda platí:

 

x . y = k

x1 . y1 = 5 . 150 = 750 = k

x2 . y2 = k, teda x2 = k/y2 = 750/250 = 3brigádnici

 

Grafom nepriamej úmernosti je hyperbola (obr. 2).


Zdroj: http://zonalandeducation.com/mstm/physics/mechanics/forces/inverseProportion/graph/inverseAB.html

 

Obr. 2: Graf nepriamej úmernosti (príklad)

 

 

Úmera sa využíva i pri rysovaní plánov či tvorbe máp – ak má napr. mapa mierku 1 : 250, znamená to, že mapa je zmenšená 250-krát – teda 1 cm na takej mape má v skutočnosti 250 cm.

 

 

 

Precvič si:


  1. Cena kabátu je 40€. Koľko bude stáť po 30% zľave? A koľko bude stáť po ďalšom zľavnení o 15%?

  2. 12 pracovníkov by vykopalo studňu za 8 dní. 9 pracovníkov bolo však preradených na inú prácu. Za aký čas by kanál vykopali ostatní?



 

Použitá literatúra:

 

Šedivý, O. a kol.: Matematika pre 7. Ročník, SPN, Bratislava

Koreňová, L.: Zvládni prijímacie skúšky z matematiky na stredné školy, Aktuell, Bratislava, 2007, ISBN 80-89153-32-1

www.goblmat.eu

http://matematika-online-a.kvalitne.cz/pomer.htm

http://www.mathsteacher.com.au/year10/ch17_variation/05_directvariation/25direct.htm

vlastné poznámky

 


 

Zdroje obrázkov:

 

http://zonalandeducation.com/mstm/physics/mechanics/forces/inverseProportion/graph/inverseAB.html