Vypracovala : Petra Podmanická
 
 
 

 

(pre jednoduchosť zápisu a jednoznačnú identifikáciu budú počnúc týmto bodom vektory znázornené nasledovne : = a , t.j. červeným tučným písmom)
 
 
Sčítanie vektorov a(a1, a2), b(b1, b2)
 
  • numericky :

 

  • ak vektory vychádzajú z rovnakého bodu – dopĺňanie na rovnobežník

 
  • ak vektor b začína tam, kde vektor a končí – dopĺňanie na trojuholník

 
 
  • ak dva vektory nemajú spoločný bod

postupujeme tak, že jeden z nich umiestnime na začiatok druhého vektora a doplníme na rovnobežník

 
  • ak je vektorov viac

majme vektory a, b, c, d. Budeme ich postupne umiestňovať tak, že počiatok ďalšieho vektora bude totožný s koncom predchádzajúceho (b bude začínať tam, kde a končí, c bude začínať tam, kde b končí a d bude začínať tam, kde c končí) Výsledný vektor x dostanem spojením počiatku a vektora a konca d vektora :


 

 
Rozdiel vektorov a, b
 

  • je vlastne súčet vektora a a vektora opačného ku b, t.j. – b

 

  • a b = a + (-b)
  • numericky :

 

  • obrázok :

 

 
Násobenie prirodzeným číslom
 

  • majme vektor a(a1, a2) a prirodzené číslo k. Prenásobenie vektora číslom k vyzerá asi takto :
k*a = (k*a1, k*a2)
 

 
Skalárny a vektorový súčin

  • skalárny súčin
    • súčin veľkostí dvoch vektorov a kosínusu uhla, ktorý navzájom zvierajú
    • a . b = |a| * |b| * cos φ
    • a . b = a1*b1 + a2*b2 ........... v rovine
    • ak sú dva vektory kolmé, ich skalárny súčin je rovný nule (cos 90° = 0)
 

  • vektorový súčin
    • sa dá vyjadriť a počítať iba v trojrozmernom priestore
    • na rozdiel od skalárneho súčinu, výsledkom vektorového súčinu je opäť vektor, ktorý je kolmý na oba pôvodné vektory
    • c = a b = a0 .|a| . |b| . sin φ
    • c = (a2b3 – b2 a3; a3b1 – b3a1; a1b2 – b1a2)
 

 
Kolineárne a komplanárne vektory
 

  • tri body X, Y, Z ležia na jednej priamke, t.j. sú kolineárne práve vtedy, ak XY a XZ sú rovnobežné a to platí vtedy, ak existuje číslo k také, že platí :

XY = k* XZ

 

  • štyri body X, Y, Z, Q ležia v jednej rovine, t.j. sú komplanárne práve vtedy, ak sú lineárne závislé, teda existujú čísla k, l také, že platí :
XY = k*XZ + l*XQ
 
 
Príklad I.

 

Zistite, či vektory , , sú lineárne závislé alebo lineárne nezávislé
 
 

Riešenie :
 

Ak sú tieto vektory závislé, musia existovať také reálne čísla k, m, že platí nasledovný vzťah :
 

a = k*b + m*c
 

Do rovnice dosadíme hodnoty súradníc, čím dostaneme tri rovnice s dvoma neznámymi, t.j.
 
3 = k + 2m
2 = k
7 = k + 3m
 
 
Z prvých dvoch rovníc si zistíme hodnoty L, m ktoré ak dosadíme do tretej rovnice a výsledok bude správny, tak vektory sú lineárne závislé a teda :
 
3 = 2 + 2m
1 = 2m
m = 1/2
 
 
A teda dosadením do tretej rovnice dostávame :
7 = 2 + 3*1/2
7 ≠ 5,5
 
 
A z toho vyplýva, že vektory nie sú lineárne závislé, teda body, ktoré ich tvoria sa nedajú umiestniť do jednej roviny a teda nie sú komplanárne.
 
 
Príklad II
 
Zistime, či vektory , , sú lineárne závislé alebo lineárne nezávislé.

 

 

Riešenie :

 
Postupom z predchádzajúceho príkladu zistíme, či vektory sú alebo nie sú závislé a teda
 
 
 
Z prvých dvoch rovníc zistíme hodnoty k, m
 
Tieto hodnoty dosadíme do tretej rovnice

 


 

Z toho vyplýva, že vektory sú lineárne závislé
 
 
 
 
Príklad III

 

Vypočítajte skalárny súčin vektorov, ak máte zadané :
 
1. |a| = 7; |b| = 6; φ = 60°
2. a = [3, -4]; b = [-2; -1]
 
 
Riešenie :

 

V oboch prípadoch použijeme vzorce, ktoré sú odvodené pre skalárny súčin vektorov a teda:
 
1. a . b = |a| * |b| * cos φ = 7*6* cos 60° = 42*0,5 = 21
2. a . b = a1*b1 + a2*b2 = 3*(-2) + (-4)*(-1) = -2
 

 
 
Neriešený príklad
 
 

  1. Zistite, či sú vektory a = (1, 2, 3); b = (-2, 0, 3); c = (-1; 1; -1) lineárne závislé alebo nie sú

 

  1. Vypočítajte skalárny súčin vektorov, ak máte zadané :

 

a. |a| = 4; |b| = 3√2; φ = 45°..............................................12
b. a = [6, 8]; b = [-4; 3]…………………………………………...0
 
 
 
 

Použitá literatúra:

prehľad matematiky
zbierka vzorcov z matematiky
vlastné stredoškolské poznámky