Príklad 1: Zem považujeme za guľu s polomerom r = 6370 km. Aká je jej hmotnosť, ak jej hustota je 5,52 g/cm3?

 

Riešenie:

http://www.merrittcartographic.co.uk/earth_structure.html

 

r = 6370 km = 6 370 . 103 m

ρ = 5,52 g.cm-3 = 5520 kg . m-3

m = ?

 

Hmotnosť vypočítame zo vzťahu pre výpočet hustoty ρ = m/V → m = ρ . V. Objem si vypočítame pomocou vzorca pre výpočet objemu gule: 

maria martinkovicova

 

m = ρ . V

m = 5520 . 1,08.1021

m = 5,97.1024 kg

Hmotnosť zeme je približne 5,97 . 1024 kg.

 

 

 

Príklad 2: Vypočítajte hrúbku steny dutej kovovej gule, ak je daný vonkajší priemer d1 = 40 cm; jej hmotnosť – m = 25 kg a hustota kovu, z ktorej je guľa zhotovená ρ = 8,45 g.cm-3.


Riešenie:

maria martinkovicova

Prierez kovovou guľou


 

m = 25 kg = 25 . 103 g

d = 40 cm → r = 20 cm = 0,2 m

ρ materiálu (kovu) = 8,45 g . cm-3 = 8450 kg . m-3

s = ?

h = ?

 

Objem materiálu z ktorého je guľa zhotovená, resp. objem plášťa Vpl, vypočítame:

ρmateriálu (kovu) = m/Vpl

Vpl = m/ρmateriálu (kovu)

Vpl = 25 000 : 8,45

Vpl = 2 958,58 cm3

 

Objem celej kovovej gule Vg:

Vg = 4/3 . π . r3

Vg = 4/3 . 3,14 . 203

Vg = 33 493,33 cm3

 

Objem vnútornej gule (t.j. duté vnútro) Vvn vypočítame ako rozdiel objemov Vg a Vpl:

Vvn = Vg - Vpl

Vvn = 30 534,75 cm3

 

Ďalej potrebujeme poznať polomer vnútornej gule h, ktorý vypočítame zo vzorca pre objem gule V = 4/3πr3 (v našom prípade: Vvn = 4/3πh3):

maria martinkovicova

maria martinkovicova

maria martinkovicova

h = 19,39 cm

 

Hrúbku samotnej steny vypočítame ako rozdiel vonkajšieho a vnútorného polomeru kovovej gule:

s = r – h

s = 20 – 19,39

s = 0,61 cm

Hrúbka steny gule je približne 0,61 cm.

 

 

 

Príklad 3: Vypočítajte obsah mierneho pásma na severnej pologuli, ktoré sa rozprestiera medzi 23°27´ a 66°33´severnej zemepisnej šírky.

 

Riešenie:

http://wallpapers-xs.blogspot.sk/2012/06/planet-earth.html

 

rzeme = 6370 km

α = 23°27´

β = 66°33´

S = ?

v = ? v = x2 – x1 (viď obr.)

 

Obsah mierneho (guľového) pása vypočítame podľa vzorca: S = 2πrv

 

x1:

x1 = sinα . rzeme

x1 = 0,3979 . 6370

x1 = 2534,623 km

 

x2:

x2 = sinβ . rzeme

x2 = 0,9157 . 6370

x2 = 5833,009 km

 

v:

v = x2 – x1

v = 5833,009 – 2534,623

v = 3298,386 km

 

S = 2 . π . rzeme . v

S = 2 . 3,14 . 6370 . 3298,386

S = (približne) 131,95 . 106 km2

 

Kratší spôsob: do vzorca pre výpočet obsahu guľového pása si rovno dosadíme vzťah pre výpočet v:

 

S = 2 . π . r . v = 2 . π . (sin66°33´ . r - sin23°27´ . r) = 2 π . r2 (sin66°33´ - sin23°27´)

Po dosadení: S = 131, 95 . 106 km2.

Mierne pásmo na severnej pologule sa rozprestiera na približne 131,95 . 106 km2.



Zopakujte si:
1. Ako by si vypočítal povrch guľovej vrstvy?
2. Ako vysoko by musel vyletieť letec, aby videl desatinu zemského povrchu?

Použitá literatúra:
Odvárko O. a kol.: Matematika pre 2. ročník gymnázia, SPN, Bratislava, 1985
Pomykalova, E.: Matematika pro gymnázia – Stereometria, Prometheus, Praha, 1995

Zdroje obrazkov:
http://www.merrittcartographic.co.uk/earth_structure.html
http://wallpapers-xs.blogspot.sk/2012/06/planet-earth.html