Vypracovala: Dana Rosiarová




Pomocou objemu telies môžeme napríklad určiť skladovaciu kapacitu rozličných priestorov, či nádob, hmotnosť projektovaných výrobkov a ďalšie údaje.
 
 
Objem telesa je kladné číslo, pre ktoré platí:
  • Navzájom zhodné telesá majú rovnaké objemy.
  • Ak je teleso zjednotením dvoch telies, ktoré nemajú spoločné vnútorné body, tak jeho objem sa rovná súčtu objemov obidvoch telies.
  • Objem kocky s hranou dĺžky 1 sa rovná 1.
  • Ak je teleso časťou druhého telesa, potom jeho objem je menší ako objem druhého telesa.
  • Cavallieriho princíp: Ak pre dve telesá existuje taká rovina, že každá rovina s ňou rovnobežná pretína obidve telesá v rovinných útvaroch s rovnakým obsahom, tak sa objemy daných telies rovnajú.

 
Povrch telesa je miera jeho hranice. Pojem povrch hranola (ihlana) vyjadruje súčet obsahov jeho stien a podstáv. Keďže steny a podstavy sú mnohouholníky, jeho povrch sa dá pomerne jednoducho vypočítať.

 
 

Prehľad vzťahov pre objem a povrch telies
 
Nech V je objem, S je povrch, Q je obsah plášťa, Sp je obsah podstavy, v je výška telesa, s je strana kužeľa.

 
Hranol
V = Sp * v

S = 2 * Sp + Q


 
Ihlan

V =1/3 * Sp * v

S = Sp + Q


 
Zrezaný ihlan
S = Sp1 + Sp2 + Q


 
Rotačný valec

V =π * r2 * v

S = 2 * π * r * (r + v)

Q = 2 * π * r * v


 

Rotačný kužeľ
V = 1/3 * π * r2 * v
S = π * r * (r + s)
Q = π * r * s


 

Zrezaný rotačný kužeľ
V = 1/3 * π * v * (r12 + r1 * r2 + r22)

S = π * (r12 + r22) + Q 

Q = π * s * (r1 + r2)


 
Guľa

V = 4/3 * π * r3
S = 4 * π * r2


 
Guľový odsek
V = 1/6 * π * v * (3p2 + v2) = 1/3 * π * v2 * (3r – v), p je polomer odseku, r je polomer gule


 
Guľová vrstva

V =1/6 * π * v * (3p12 + 3p22 + v2), p1, p2 sú polomery hraničných kruhov vrstvy


 

Guľový výsek
V = 2/3 π * r2 * v, r je polomer gule a v je výška odseku


 
Guľový vrchlík a pás
V = 2 * π * r * v, r je polomer gule, v je výška vrchlíka alebo pásu.


 
Úlohy:
  1. Ako označujeme objem?
  2. Čo je to povrch?
  3. Vymenuj telesá.

 
 

Použitá literatúra:
Matematika - pomôcka pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Učebnica matematiky pre SŠ
Vlastné poznámky