Vypracovala: Dana Rosiarová
Pomocou objemu telies môžeme napríklad určiť skladovaciu kapacitu rozličných priestorov, či nádob, hmotnosť projektovaných výrobkov a ďalšie údaje.
Objem telesa je kladné číslo, pre ktoré platí:
-
Navzájom zhodné telesá majú rovnaké objemy.
-
Ak je teleso zjednotením dvoch telies, ktoré nemajú spoločné vnútorné body, tak jeho objem sa rovná súčtu objemov obidvoch telies.
-
Objem kocky s hranou dĺžky 1 sa rovná 1.
-
Ak je teleso časťou druhého telesa, potom jeho objem je menší ako objem druhého telesa.
-
Cavallieriho princíp: Ak pre dve telesá existuje taká rovina, že každá rovina s ňou rovnobežná pretína obidve telesá v rovinných útvaroch s rovnakým obsahom, tak sa objemy daných telies rovnajú.
Povrch telesa je miera jeho hranice. Pojem povrch hranola (ihlana) vyjadruje súčet obsahov jeho stien a podstáv. Keďže steny a podstavy sú mnohouholníky, jeho povrch sa dá pomerne jednoducho vypočítať.
Prehľad vzťahov pre objem a povrch telies
Nech V je objem, S je povrch, Q je obsah plášťa, Sp je obsah podstavy, v je výška telesa, s je strana kužeľa.
Hranol
V = Sp * v
S = 2 * Sp + Q
Ihlan
V =1/3 * Sp * v
S = Sp + Q
Zrezaný ihlan
S = Sp1 + Sp2 + Q
Rotačný valec
V =π * r2 * v
S = 2 * π * r * (r + v)
Q = 2 * π * r * v
Rotačný kužeľ
V = 1/3 * π * r2 * v
S = π * r * (r + s)
Q = π * r * s
Zrezaný rotačný kužeľ
V = 1/3 * π * v * (r12 + r1 * r2 + r22)
S = π * (r12 + r22) + Q
Q = π * s * (r1 + r2)
Guľa
V = 4/3 * π * r3
S = 4 * π * r2
Guľový odsek
V = 1/6 * π * v * (3p2 + v2) = 1/3 * π * v2 * (3r – v), p je polomer odseku, r je polomer gule
Guľová vrstva
V =1/6 * π * v * (3p12 + 3p22 + v2), p1, p2 sú polomery hraničných kruhov vrstvy
Guľový výsek
V = 2/3 π * r2 * v, r je polomer gule a v je výška odseku
Guľový vrchlík a pás
V = 2 * π * r * v, r je polomer gule, v je výška vrchlíka alebo pásu.
Úlohy:
-
Ako označujeme objem?
-
Čo je to povrch?
-
Vymenuj telesá.
Použitá literatúra:
Matematika - pomôcka pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Učebnica matematiky pre SŠ
Vlastné poznámky
