Vypracovala: Mária Martinkovičová

 

 

 

Nech funkcia f je definovaná na (a, b). Funkciu F definovanú na (a, b) voláme primitívna funkcia k funkcii f na intervale (a, b), ak pre ľubovoľné x ϵ (a, b) platí F´(x) = f(x). Miesto  F(x) píšeme i

maria martinkovicova

→ neurčitý integrál funkcie f.

 

Vety o neurčitých integráloch:

  • Ak má funkcia aspoň jednu primitívnu funkciu, tak ich má nekonečne veľa. Pritom sa každé dve líšia o tzv. integračnú konštantu.

 

  • Ak funkcia f  je spojitá na intervale (a, b) tak k funkcii f  na (a, b) existuje primitívna funkcia.

 

  • Ak funkcia F  je primitívna funkcia k funkcii f  a G je primitívna funkcia k funkcii g,  ďalej platí: c1F + c2G je primitívna funkcia k funkcii c1f + c2g

 

  • Nech f,  g sú spojité funkcie na (a, b).

 

Ďalej platí:

maria martinkovicova

 

Integrál zo súčtu funkcií:

maria martinkovicova

 

Integrál z rozdielu funkcií:

maria martinkovicova

maria amrtinkovicova

 

Integrál zo súčinu konštanty a funkcie:

maria martinkovicova

 

 

Prehľad elementárnych integrálov:

maria martinkovicova

 

 

Základné metódy integrovania:

1. Substitučná metóda je metóda odvodená od vzťahu pre deriváciu zloženej funkcie a jej princíp je v nasledujúcom tvrdení:

Nech F  je primitíva funkcia k funkcii f  v intervale I a nech funkcia g má deriváciu v intervale (a, b) a nech pre každé x ϵ (a, b) je g(x) ϵ I. Potom v intervale (a, b) platí:

maria martinkovicova

 

Poznámka: Dôležité je zvoliť primeranú substitúciu a niekedy treba integrovanú funkciu pred použitím tejto metódy upraviť algebraickými, prípadne inými úpravami.

 

Pri používaní substitučnej metódy je praktický postup vo všeobecnosti takýto:

1. V  integrovanej funkcii hľadáme takú funkciu g,  ktorá sa tam vyskytuje spolu so svojou deriváciou, prípadne jej číselným násobkom.

2. Uvedieme novú premennú t,  pre ktorú t  = g(x).

3. Daný integrál upravíme na tvar: 

maria martinkovicova

Počítame:

maria martinkovicova

4. Nakoniec vo výsledku nahradíme:

t = g(x) F(g(x)) + c

 

 

2. Metóda Per partes je tzv. integrovanie po častiach. Metóda Per partes je odvodená zo vzťahu pre deriváciu súčinu funkcií, spočíva v:

Nech funkcie f a g majú derivácie v intervale (a, b). Potom v intervale (a, b):

maria martinkovicova

 

Pri integrovaní po častiach záleží na tom, ako zvolíme f ´(x), g(x) a niekedy treba túto metódu použiť i viac krát za sebou, pokiaľ nedostaneme známy neurčitý integrál.

Metóda sa používa na integrovanie súčinu funkcií. Jednu z nich zvolíme za f ´, druhú za g. Výpočet daného integrálu potom prevedieme na výpočet iného integrálu. Za funkciu f(x) pritom volíme čo najjednoduchšiu, ľubovoľnú, primitívnu funkciu k funkcii f´(x).

Aby sme boli pri tejto metóde úspešní, funkcie f´ a g by sme mali voliť tak, žeby nemal byť problém vypočítať funkcie g´(x) a

maria martinkovicova

a nasledujúci integrál by mal byť ľahší ako pôvodný.

maria martinkovicova

 

 

 

Otázky:

1.Vypočítaj: 

maria martinkovicova

2. Dané sú funkcie F, G a f:

maria martinkovicova

Dokáž, že funkcie G a F sú primitívne k funkcii f. O akú konštantu sa líšia?

 

 

 

Použitá literatúra:

Vlastné poznámky

http://www.math.sk/skripta2/node8.html

http://www.math.sk/skripta2/node11.html

Kolektív autoriek: Matematika – pomôcka pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách, Enigma, Nitra, 1999

Červinková, P. - Čermák, P.: Zmaturuj! z matematiky, Didaktis, Bratislava, 2004