Teoretická časť


Pod pojmom nerovnosť si môžeme predstaviť všeličo, ale v našom prípade si pod týmto pojmom budeme predstavovať akékoľvek úpravy typu >; <; ≥; ≤, resp. úpravy, ktoré neobsahujú iba „=“.Uvedené znaky predstavujú: väčší ako... menší ako.... väčší ako alebo rovný.... menší ako alebo rovný. Pomocou týchto znakov formulujeme a riešime nerovnice.

 

 

Takže napríklad, majmä dve čísla a, b. Platí pre ne:


a > b – číslo a je väčšie ako číslo b

a < b – číslo a je menšie ako číslo b

a ≥ b – číslo a je väčšie ako číslo b alebo sa číslu b rovná

a ≤ b – číslo a je menšie ako číslo b alebo sa číslu b rovná



Majme čísla “a” a “b” a neznámu “x”. Máme nájsť všetky možné odlišné prípady, ktoré môžu z hľadiska nerovností nastať a máme to nakresliť na číselnú os, na x-ovú súradnicu

 

 

  1. x < a

 

- je to tzv. otvorený interval – nazýva sa tak preto, lebo bod “a” nepatrí medzi riešenie. Majmä napríklad určiť definičný obor výrazu 1/(x2 - 1). Vieme, že nulou sa deliť nedá, preto tam môžu byť ľubovolné čísla okrem +1 a -1. Zapíšeme to nasledovným spôsobom: x in ( - infty, -1) cup (-1, 1) cup (1, infty). Vidíte, že jednotky sme zapísali do oboru riešenia, ale jednotky už nie sú korektným riešením, pretože, ak by sme ich dosadili do výrazu, dostali by sme nuly a tými sa deliť nemôže.

 

- je to interval, ktorý nie je zľava ohraničený, ale sprava áno

 

- všeobecný zápis: x = (-∞; a)



 

 

  1. x ≤ a

 

- je to tzv uzavretý interval – nazýva sa tak preto, lebo bod “a” je súčasťou riešenia nerovnice. Majme napríklad nerovnicu x2 + 1 10. Riešením tejto nerovnice je x29, čiže x ≤ +3, - 3. Zapíšeme to nasledovným spôsobom: .

 

Znamená to, že ak dosadíme čísla -3 a čísla + 3 do pôvodnej nerovnice, dostaneme správne riešenie, pretože 32 + 1 = 10 a podľa zadania, má byť výraz naľavo menší ako desať alebo sa rovná desať.

 

- je to interval, ktorý nie je zľava ohraničený, ale sprava áno

 

- všeobecný zápis: x = (-∞; a>




 

  1. x > a

     

- interval je otvorený

 

- je ohraničený zľava

 

- všeobecný zápis: x = (a; ∞)

 

 

 

 

  1. x ≥ a

 

- interval je uzavretý

 

- je ohraničený zľava

 

- všeobecný zápis: x = <a; ∞)


 

 

 

  1. a ≤ x < b

     

- interval je čiastočne otvorený, čiastočne uzavretý, resp. interval je zľava uzavretý a sprava otvorený

 

- je ohraničený aj zľava aj sprava

 

- všeobecný zápis: x = <a; b)


 

 

  1. a ≤ x ≤ b

 

- interval je úplne uzavretý, resp. interval je zľava uzavretý a sprava uzavretý

 

- je ohraničený aj zľava aj sprava

 

- všeobecný zápis: x = <a; b>


 

 

 

  1. a < x ≤ b

 

- interval je čiastočne otvorený, čiastočne uzavretý, resp. interval je zľava otvorený a sprava uzavretý

 

- je ohraničený aj zľava aj sprava

 

- všeobecný zápis: x = (a; b>



 

 

  1. a < x < b

 

- interval je z oboch strán otvorený

 

- je ohraničený aj zľava aj sprava

 

- všeobecný zápis: x = (a, b)


 

 

 

  1. R

     

- Interval je otvorený

- Neohraničený ani z jednej strany

 

- Riešením je množina všetkých reálnych čísiel: x = R

Riešené príklady

 

Máme nerovnicu

 

 

Treba ju vyriešiť, graficky znázorniť a spraviť diskusiu. Nakoniec prehlásime, že výraz na pravej strane je <; ≥; ≤ a podiskutujeme o tom.


 

Riešenie:


 

 

Vidíme, že nášmu riešeniu vyhovujú všetky čísla, ktoré patria do intervalu x = (-1, ∞). Čo vidno aj z grafu a môžeme si to dokázať skúškou správnosti. Zvoľme si napríklad nulu a dosaďme miesto “x”. Dostaneme:




Ak by bol v nerovnici znak “≥” riešenie by bolo to isté, avšak do intervalu správnych riešení by patrila aj mínus jednotka, pretože zadanie nám hovorí, že pravá strana má byť väčšia alebo sa má rovnať ľavej strane. Riešením by teda bolo: x = <-1, ∞)

 

Skúsme si tam teda tú mínus jednotku dosadiť. Dostaneme:


 

 

V prípade, že sa znak nerovnice zmení na opačný, nášmu riešeniu by vyhovovali všetky záporné čísla menšie ako jedna, t.j. x = (-∞, -1) a ak by išlo o znak ≤, tak by nášmu riešeniu vyhovovali všetky záporné čísla menšie ako jedna, vrátane tej jednotky, t.j. x = (-∞, -1>




Neriešené príklady

 

Vyriešte nasledovnú nerovnicu, graficky ju znázornite a potom z nej urobte všetky kombinácie znakov nerovností, ktoré vám ešte ostávajú:

 

 

[x > - 4]





Použitá literatúra:
Vlastné poznámky

Zbierka vzorcov z matematiky od kolektívu autorov RNDr. Marián Olejár, Mgr. Iveta Olejárová, Martin Olejár, Marián Olejár, Jr.