Ak by sme chceli umocňovanie poňať z toho najjednoduchšieho hľadiska, môžeme povedať, že je to operácia, ktorá nám skracuje násobenie. Tým chceme povedať, že môžeme napísať:

 

b = a*a*a*a*a*a*a, ale predsa len je jednoduchšie napísať to takto: b = a7.

 

Umocňovanie je teda opakované násobenie.

 

Čo všetko sa nám pri umocňovaní vyskytuje? Majme b = ax

- b je výsledok umocňovania - nazývame ho mocnina

- a je číslo, ktoré umocňujeme - nazývame ho základ mocniny, môže to byť reálne číslo

- x je číslo, na ktoré je základ umocnený - nazývame ho exponent, môže to byť ľubovolné prirodzené číslo

 

- ak x = 2 hovoríme o druhej mocnine: b = a2 = a*a

- ak x = 3 hovoríme o tretej mocnine: b = a3 = a*a*

- ak x = n hovoríme o n-tej mocnine: b = an = a*a*a* ...*n(a)

 

 

V rámci tohto ročníka by ste sa mali naučiť, resp. mali by ste poznať a ovládať druhé mocniny čísel od jedna do dvadsať. Uvádzame preto nasledovnú tabuľku:

 

 

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

7

 

8

 

9

 

10

 

1

 

4

 

9

 

16

 

25

 

36

 

49

 

64

 

81

 

100

 

11

 

12

 

13

 

14

 

15

 

16

 

17

 

18

 

19

 

20

 

121

 

144

 

169

 

196

 

225

 

256

 

289

 

324

 

361

 

400

 

 

 

Základné pravidlá platné pri počítaní s mocninami:

 

Zdroj: /userfiles/image/matematika/tabulka.jpg

 

Umocňovanie záporných čísiel:

 

Platí tu jedno základné pravidlo: Ak záporné číslo, umocňujem párnym exponentom, dostanem číslo kladné, ak nepárnym, dostanem číslo záporné. Platí to však iba vtedy, ak sa toto číslo nachádza v zátvorke, t.j.:

 

  • (-2)2 = 4 ….. = (-2)*(-2) = (-)*(-)*2*2

  • (-2)3 = -8….. = (-2)*(-2)*(-2) = (-)*(-)*(-)*2*2*2

  • -22 = -4…… = (-)*2*2

  • -23 = -8……= (-)*2*2*2

 

 

Praktická časť

Vypočítajte:

 

Zdroj: /userfiles/image/matematika/vzorec.jpg

 

Upravíme si zvlášť menovateľ aj čitateľ jedného aj druhého zlomku. Všimnite si, že všetky čísla sú deliteľné alebo trojkou, alebo päťkou

 

  • (151/3*27-1/2)-3 = [(3*5)1/3*(33)-1/2]-3

  • (251/4)-2*(91/8)-2 = [(52)1/4*(32)1/8]-2

  • 91/3 = (32)1/3

  • (3*271/4)1/3 = [3*(33)1/4]1/3

 

A v týchto tvaroch poupravujeme:

 

  • [(3*5)1/3*(33)-1/2]-3= [51/3*31/3*3-3/2]-3 = [51/3*3-7/6]-3 = 5-1*37/2

  • [(52)1/4*(32)1/8]-2 = [51/2*31/4]-2 = 5-1*3-1/2

  • (32)1/3= 32/3

  • [3*(33)1/4]1/3 = [3*33/4]1/3 = [37/4]1/3

 

A teraz to dosadíme do pôvodného vzorca:

 

  • (151/3)-3*(27-1/2)-3 = 5-1*37/2

  • (251/4)-2*(91/8)-2 = 5-1*3-1/2

  • 91/3= 32/3

  • (31)1/3*(271/4)1/3 = 37/12

 

Tento príklad je veľmi zložitý a pravdepodobne sa s ním na základnej škole nestretnete. Vybrali som ho však preto, lebo sú v ňom použité všetky vzorce, resp. pravidlá platné pri počítaní s odmocninami. Pre jednoduchosť si ho môžete rozdeliť na štyri časti a tieto riešiť samostatne (v poslednom bode sú napísané čiastkové výsledky).

 

 

Úlohy:

 

Vypočítajte:

 

1. 811/2 + 1612/48

 

Výsledok: 11

 

 

2. (361/2/161/4) + (163/4/811/2) – (13/4/811/2)

Výsledok: 3 7/9