Vypracovala: Mária Martinkovičová


 

Výrok – je každý výraz, ktorý popisuje stav vecí, pričom vieme vždy jednoznačne určiť, či je stav vecí taký ako tvrdí, alebo nie. Výrok môže byť:

  • pravdivý (platí) – taký výrok, ktorý vyjadruje skutočný stav vecí

  • nepravdivý(neplatí)


Pravdivostné hodnoty = pojmy pravda nepravda.Každý z výrokov nadobúda práve jednu z týchto dvoch hodnôt – pravdivostnú hodnotu „pravda“ označujeme číslom „1“, pravdivostnú hodnotu „nepravda“ označujeme číslom „2“.


Axióma (postulát) = matematický výrok, ktorý pokladáme za pravdivý a nedokazujeme ho. Pomocou axióm zavádzame jednotlivé matematické pojmy. Sústava axióm musí byť nezávislá (pomocou jednej axiómy nemožno odvodiť inú axiómu),bezosporná(z axiómy nie je možné odvodiť výrok a súčasne aj jeho negáciu) a úplná – zo sústavy axióm sa dá odvodiť pravdivosť alebo nepravdivosť akéhokoľvek matematického výroku.


Definícia - pomáha zavádzať nové matematické pojmy, pričom určí názov pojmu a jeho charakteristické vlastnosti. Pritom využíva už skôr zavedené pojmy.


Hypotéza = výrok, o ktorom v čase jeho formulovania, nevieme rozhodnúť či je alebo nie je pravdivý.


Logická spojka = každý operátor, ktorý spája spojky do zložených výrokov.Taký výrok, ktorý neobsahuje logické spojky, voláme jednoduchý výrok.


Negácia výroku A je zmena jeho pravdivostnej hodnoty – tvrdí presný opak toho, čo pôvodný výrok. Na negáciu výroku využívame negátor– operátor ¬. T.j. negáciu výroku A zaznačíme „¬A“.


Konjunkciavýrokov, napr. A a B je výrok, ktorý vznikol ich spojením. Je pravdivý, ak oba výroky (A aj B) sú pravdivé, inak je nepravdiví. Na označenie konjunkcie používame operátor konjuktor – „ᴧ“.(A ᴧ B – výrok A a súčasne výrok B)


Disjunkciavýrokov A a B – (A v B – výrok A alebo výrok B) je výrok, ktorý vznikol ich spojením. Je pravdivý ak aspoň jeden s výrokov je pravdivý. Operátor v“ voláme disjunktor.


Implikácia výrokov A a Bje výrok, ktorý vznikol ich spojením. Je nepravdivý, ak je výrok A pravdivý a výrok B nepravdivý. Inak je implikácia pravdivá. (A ⟹ B – ak výrok A, potom výrok B; operátor „“ voláme implikátor.

Obrátená implikácia k A ⟹ B: výmena členov implikácia (B ⟹ A);

Obmenená implikácia k A ⟹ B: výmena členov a ich negovanie(¬B ⟹ A¬)


Ekvivalencia výrokov A a B je výrok, ktorý vznikne ich spojením. Je pravdivý len vtedy, ak výroky majú rovnakú pravdivostnú hodnotu. Na označenie ekvivalencie používame operátor “. (A ⟺ B – výrok A práve vtedy, keď výrok B)


Vyplýva – ak z výroku A vyplýva výrok B, tak ide o implikáciu: A ⟹ B


Je ekvivalentné – dva výroky A, B sú ekvivalentné vtedy, ak sa rovnajú ich pravdivostné hodnoty - A ⟹ B je ekvivalentné s B´ ⟹ A´



Kvantifikovaný výrok = oznamovacia veta udávajúca určitý počet, alebo odhad počtu objektov - predmetov, osôb, ...s rovnakou vlastnosťou. V kvantifikovanom výroku sa vyskytujú slová ako práve, najviac, každý, všetci, niektorí, aspoň, žiadny ..., ktoré sa voláme kvantifikátory a číslovky.

Pre symbolické zápisy kvantifikovaných výrokov používame kvantifikátor

  • všeobecný - - „pre každé (všetky) platí.....“

  • existenčný - - „existuje aspoň jedno..., pre ktoré platí ....“


Priamy dôkaz = konečná postupnosť správnych krokov, z ktorých každý vyplýva z predchádzajúcich, pričom prvý krok dôkazu je overenie platnosti predpokladu a výsledkom posledného kroku je záver dokazovaného tvrdenia. Teda, ak platí A ≥ B, tak platí B.


Nepriamy dôkaz  = dôkaz podľa vzorca: ak platí "z A vyplýva B" a súčasne vieme, že platí opak B, tak platí opak A. Teda, je to konečná postupnosť správnych krokov, z ktorých každý vyplýva z predchádzajúcich. Pritom prvým krokom je negácia záveru tvrdenia a výsledkom posledného kroku je negácia predpokladu, prípadne iného platného tvrdenia. Na dôkaz, že platí A ≥ B, tak stačí dokázať, že platí B´ ≥ A´


Dôkaz sporom - podľa vzorca: ak platí "z A vyplýva B", potom ak vieme, že "z A vyplýva opak B", tak platí opak A. Teda: ak "z A vyplýva B" a zároveň "z A vyplýva opak B", tak platí opak A. (slovne: Ak z predpokladu A vyplýva výrok B a súčasne jeho negácia, potom musí platiť negácia A).


 

Použitá literatúra:

http://www.statpedu.sk/files/documents/cp-2013-2014/cp_matematika_2013_2014.pdf

https://sk.wikipedia.org/wiki/Priamy_d%C3%B4kaz

https://sk.wikipedia.org/wiki/Nepriamy_d%C3%B4kaz_(logika)

https://sk.wikipedia.org/wiki/D%C3%B4kaz_sporom

vlastné poznámky