DEF: Logaritmiclé nerovnice nazývame také nerovnice, ktoré majú neznámu v argumente alebo v základe niektorého logaritmu.


 

Metódy riešenia logaritmických nerovníc:

 

  1. úprava na rovnaký základ

  2. použitie logaritmických viet o súčte a rozdielu logaritmov

  3. substitúcia

 

 

  1. úprava na rovnaký základ


Pozn: Logaritmické nerovnice riešime podobne ako logaritmické rovnice. Používame vzorce pre počítanie s logaritmami a snažíme sa upraviť nerovnicu tak, aby sme mohli použiť metódu odlogaritmovania. Rozdiel medzi počítaním rovníc a nerovníc spočíva ešte v rešpektovaní monotónnosti logaritmickej funkcie.

 

 

 

  1. Pre Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová je funkcia Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová rastúca

 

t.j. Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová


 

Pozn: znamienka nerovnosti sú rovnakého smeru

 

 

  1. Pre Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová je funkcia Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová klesajúca

 

t.j. Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová


 

Pozn: znamienka nerovnosti sú opačné


Pozn: Pri riešení logaritmických nerovníc musíme v prvom rade určiť podmienky riešiteľnosti, teda určíme definičný obor príslušnej logaritmickej funkcie.



 

Pr.1. Vyrieš nerovnicu log2(x + 1) < 2

 

log2 (x + 1) < 2

Podm.: a = 2 > 1

              x + 1 > 0

                     x > - 1

                    x є (-1, ∞)


Riešenie:


log2(x + 1) < log222 - upravili sme na rovnaký základ

          x + 1 < 4  - riešime jednoduchú lineárnu nerovnicu

                 x < 3

            x є (-∞, 3) - urobíme prienik podmienok a riešenia lineárnej nerovnice


K є (-1, ∞) ∩ (-∞, 3) = (-1, 3)



 

Pr.2. Vyrieš nerovnicu log ½ (2x - 1) < -1

 

Podm.: a = 1/2 < 1

                 2x - 1 > 0

                          x > 1/2

                          x є (1/2, ∞)


Riešenie:


log 1/2(2x - 1) < log 1/2(1/2) -1 - upravili sme na rovnaký základ

             2x – 1 > (1/2)-1 - riešime lineárnu nerovnicu

             2x – 1 > 2 

                       x > 3/2

                 x є (3/2, ∞) - urobíme prienik podmienok a riešenia lineárnej nerovnice

K є (1/2, ∞) ∩ (3/2, ∞) = (3/2, ∞)



Zopakujme si:


  1. Rieš nerovnice metódou úpravy na rovnaký základ:

     

  1. log3(3−x) > −3 

  2. log3 (x + 2) < log3 (3- x)

  3. log3 (x + 4) < log3 (5x - 4)

  4. log1/2 (x2 – 2x + 4) > −2 

  5. log1/5 (5x - 1) > 0 

  6. log 6/x > log (x + 5)

 



Zopakujte si:
1. Zadefinuj logaritmické nerovnice.
2. Aké metódy môžeme použiť pri riešené logaritmických nerovníc?

Použitá literatúra:
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách
Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA
vlastné poznámky