Teoretická časť

 

Nerovnice sú vyjadrenia, v ktorej je ľavá strana L(x) a pravá strana P(x) nerovnice spojená znamienkami menší (L(x) < P(x)), väčší (L(x) > P(x)), menší ako (L(x) P(x)),alebo väčší ako (L(x) P(x)).

 

 

Lineárne nerovnice sú nerovnice, pre ktoré platí vyššie uvedené, t.j. sú v nasledovnom tvare:

 

ax + b > 0

ax + b 0

ax + b < 0

ax + b 0

 

x – neznáma

a,b – konštanty (nejaké čísla)

 

 

 

Praktická časť

 

Riešte nerovnicu: 5*(x – 1) – x*(7 – x) < x2

 

Netreba sa zľaknúť toho, že v nerovnici máme výraz umocnený na druhú, nakoľko ako zistíme, v ďalších úpravách nám tento výraz vypadne. Postup je teda nasledovný:

 

  • Upravíme si výraz a zjednodušíme ho:

 

5*(x – 1) – x*(7 – x) < x2

5x – 5 – 7x + x2 < x2

 

 

  • Odpočítame od nerovnice výraz x2

 

5x – 5 – 7x + x2 < x2 …. /-x2

5x – 5 – 7x + x2 – x2 < x2 – x2

5x – 5 – 7x < 0

 

 

  • Upravíme nerovnicu tak, aby sme všetky výrazy s neznámou dostali na jednu stranua výrazy bez nej na druhú stranu.A teda k nerovnici pripočítame číslo + 5

 

5x – 5 – 7x < 0 …../ +5

5x – 5 – 7x + 5 < 5

-2x < 5

 

  • Teraz musíme urobiť takú úpravu, aby sme pred výrazom s neznámou odstránili znamienko – . Takže prenásobíme celú nerovnicu znamienkom mínus jeden -1 (keď prenásobujeme nerovnicu -1 vždymusíme zmeniť znak nerovnosti na opačný, t.j. zmeníme väčší na menší (a naopak) väčší ako na menší ako (a naopak))

 

-2x < 5 …./*(-1)

2x > -5

 

 

  • Pravú stranu predelíme ľavou stranou tak, aby sme osamostatnili neznámu (odstránime všetky čísla)

 

2x > -5 …. /:2

x > -5/2

x > -2.5

 

 

  • Toto však nie je finálny výsledok. Riešenie -2.5 by bolo správne v prípade, ak by sa jednalo o lineárnu rovnicu. My však máme nerovnicu a preto (okrem pár typov) nemôžeme dostať jedno konkrétne číslo, ale nejaký interval.

 

Zdroj: Petra Podmanická

 

  • Zakreslime si teraz riešenie našej nerovnice do obrázku:

  • Riešením je interval, ktorý má (ako ukazuje obrázok) začiatok v čísle -2,5 a končí v nekonečne. Toto zapisujeme nasledovne:

 

x (-2.5, ∞)

 

  • Tento obrázok môžeme ešte poupraviť na nasledujúci tvar, ktorý by platili v tom prípade, ak by sme v zadaní nerovnice mali znamienko menší (väčší) AKO ... (≤≥), t.j. riešenie by bolo v tvare

 

x - 2.5

 

Zdroj: Petra Podmanická

 

  • A zapísali by sme to nasledovne:

 

x <-2.5, ∞)

 

  • tento nákres (tá gulička pri čísle -2.5) symbolizuje, že aj číslo -2.5 je súčasťou riešenia, pretože riešenie nám hovorí, že x je viac alebo sa rovná číslu -2.5

  • v prípade, keď máme iba x > -2.5, číslo -2.5 nespadá do výsledku, pretože riešenie nám hovorí, že x je viac ako číslo -2.5

 

 

 

Zopakujte si:

1. Definujte lineárnu nerovnicu

2 .Zakreslite (a zapíšte) na osi nasledujúce nerovnosti: x > 3, x < -5, x ≥ 2, x ≤ - 2

3. Vyriešte nerovnicu: 2x – 15 + 3x – 10/2 ≥ -5x

 

 

 

 

Použitá literatúra:

Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.

Vlastné poznámky