Teoretická časť:

 

Kruh je množina bodov v rovine, ktorých vzdialenosť od stredu kružnice je menšia alebo rovnaká ako polomer kružnice. Je to plocha ohraničená kružnicou vrátane nej samej.

 

Kružnica je podmnožina kruhu, je to hranica kruhu, sú to všetky body, ktoré tvoria okraj kruhu.

 

Kruh sú teda všetky body, ktorá ležia nie len na kružnici, ale aj vo vnútornom priestore, ktorý kružnica obklopuje (viď. obrázok – červeným je znázornený kruh, zeleným kružnica).

 

 

Pre kruh platia určité vzťahy:

 

  1. obvod kruhu: o = 2*r*π = π*d

  2. obsah kruhu: S = π*r2 = π*d2/4

  3. kruhový výsek: S = l*r/2 alebo S = π*r2*alfa/360

 

 

Praktická časť:

 

Vypočítajte obsah kruhu, ktorý má priemer 4 cm.

 

Riešenie je veľmi jednoduché. Stačí nám iba dosadiť do vzorca, t.j.:

 

S = π*r2 = π*d2/4

S = π*42/4

 

S = 4* π cm2

 

 

Aký polomer má kruh, ktorého obsah je 78.5 cm2

 

Tentokrát riešenie pozostáva z vyjadrenia neznámej zo známeho vzorca, t.j:

 

S = π*r2

 

r = √(S/ π)

r = √(78.5/3.14)

r = 5 cm

 

 

Kruhový výsek s polomerom 5 cm, zviera uhol 120°. Vypočítajte jeho obsah.

 

Opäť ide iba o dosadenie do vzorca:

S = π*r2*alfa/360

S = 3.14*52*120/360

S = 26.2 cm2

 

 

Do kruhu je vpísaný štvorec. Vyjadrite, aký je pomer medzi obsahom kruhu a obsahom štvorca Sk/Sš:

 

V prvom rade si nakreslíme obrázok a popíšeme si v ňom tie údaje, ktoré potrebujeme pre výpočet jednotlivých obsahov:

 

 

Obsah kruhu vypočítame podľa známeho vzorca Sk = π*d2/4

 

Obsah štvorca tiež vypočítame podľa známeho vzťahu Sš = a2

 

Ak ich dáme do pomeru dostaneme:

 

 

Toto však nie je koniec výpočtu. Všimnite si obrázok. Čo je vlastne priemer kruhu vo štvorci? Je to jeho uhlopriečka. A my si pomocou Pytagorovej vety vieme z uhlopriečky zistiť, resp. vyjadriť, čomu sa rovná strana štvorca. Čiže si vieme pomocou strany štvorca vyjadriť priemer kružnice:

 

a2 + a2 = u2 = d2

d2 = 2a2

 

Toto dosadíme do pôvodného vzorca, ktorý sme si odvodili a dostávame z toho konečný vzťah:

 

 

 

 

Zopakujte si:

1. Obsahy dvoch kruhov sú v pomere 4:9. Väčší kruh má priemer 12 cm. Aký je polomer toho menšieho? [4cm]

2. Vypočítajte obsah kružnice opísanej trojuholníku so stranami 3, 4, 5 cm. [19.625 cm2]

 

 

 

 

Použitá literatúra:

Vlastné poznámky

Učebnica z matematiky