Všetky prvky trojuholníka nedokážeme sínusovou vetou dopočítať, ak poznáme všetky strany ale ani jeden uhol, alebo dve strany a uhol oproti tretej strane. V takýchto prípadoch počítame vetu kosínusovú:

Z uvedeného znenia vypočítame stranu a. V prípade, že potrebujeme vypočítať stranu b, c, či uhol β, γ, vzorec musíme prepísať, na čo máme dve možnosti:

a) pomocou významu strán a uhlov – kosínusová veta nám umožňuje určiť stranu štvorca pomocou zostávajúcich dvoch strán a protiľahlého uhla, teda:

- stranu a pomocou zostávajúcich strán b, c a protiľahlého uhla α

- stranu b pomocou zostávajúcich strán a, c a protiľahlého uhla β

- stranu c pomocou zostávajúcich strán a, b a protiľahlého uhla γ

b) pomocou schém pre cyklickú zámenu – napr. od strany a sa k strane c dostaneme dvojitým posunutím v smere šípok (viď obr.)

Obr.:

Podľa a) i b) dostaneme rovnaký výsledok – pre každý trojuholník ABC platí:

a² = b² + c² – 2bc cosα

b² = a² + c² – 2ac cosβ

c² = a² + b² – 2ab cosγ

Príklad: Daný je trojuholník ABC so stranami a = 4 cm, b = 2,9 cm, γ = 57,5°. Použitím kosínusovej vety vypočítaj veľkosť strany c a zvyšné uhly.

Riešenie:

veľkosť strany c vypočítame:

c = 3,43 cm

veľkosť uhla α:

cosα = 0,3103 ⟹α = 71°55´

 

veľkosť uhla β:

β = 180° - (α + γ) = 180° - (57°30´ + 71°55´) = 180° - 129°25´ = 50°35´

V trojuholníku okrem sínusovej a kosínusovej vety platia napr. i tieto vety/vzťahy:

1. pre všetky ostrouhlé i tupouhlé trojuholníky (S – obsah trojuholníka, π = 180°):

 

2. pre každý trojuholník platí vzorec:

3. pre každý trojuholník:

 

4. pre polomer opísanej kružnice trojuholníku:

 

 

Príklad: Vypočítajte veľkosť všetkých strán a vnútorných uhlov trojuholníka ABC, ak viete, že obsah S = 501,9 cm², c = 68,05 cm, α = 15°28´ a β = 45°.

Riešenie:

Veľkosť strany a si odvodíme zo vzťahu (3):

 

Veľkosť strany b si podobne odvodíme zo vzťahu (3):

V trojuholníku ABC platí: a = 20,86 cm, b = 55,31 cm, c = 68,05 cm, α = 15°28´, β = 45°, γ = 119°32´.

 

Príklad: Dve sily – F₁ = 72N a F₂ = 58N pôsobia v smeroch, ktoré zvierajú uhol 72,5°. Vypočítajte veľkosť výslednice obidvoch síl.

Riešenie:

Obr.: Obrázok sme doplnili na rovnobežník ⟹ 2 trojuholníky so stranami F₁, F₂ a F.

 

Všímame si farebný trojuholník – poznáme dve strany a uhol nimi zovretý – potrebujeme vypočítať protiľahlú stranu → kosínusová veta:

 

F = 105,16N

Výslednica oboch síl je 105,16 N.

Zopakujte si:

1. Kosínusovou vetou dopočítaj veľkosti strán trojuholníka KLM, ak l = 1 dm, m = 15 cm a uhol pri vrchole K má veľkosť 60°.
2. Sila o veľkosti 300N sa rozkladá na dve zložky o sile 120N a 180N. Aký uhol zložky zvierajú?

Použitá literatúra:

vlastné poznámky
www.realisticky.cz
Kolektív autoriek: Chystáte sa na maturitu? Matematika, Enigma, 1999