Vypracovala: Mária Martinkovičová

 


 

Pojem množina všetkých bodov (alebo geometrické miesto bodov) použijeme len vtedy, ak vieme, že:

 

  1. Akýkoľvek bod daného geometrického útvaru má požadovanú vlastnosť.

  2. Akýkoľvek bod roviny, ktorý danému útvaru nepatrí, už túto požadovanú vlastnosť nemá.


 

Pri zisťovaní množín bodov danej vlastnosti postupujeme nasledovne:

 

  • Narysujeme si, čo je dané a vyhľadáme jeden bod s danou vlastnosťou, t.j. nájdeme postup na hľadanie bodov.

  • Zostrojíme také množstvo bodov, aby sme vedeli urobiť odhad, aký útvar vytvoria.

  • Zistíme, či všetky body útvaru majú požadovanú vlastnosť.

  • Ďalej skúmame, či v rovine neexistujú ešte ďalšie body s danou vlastnosťou.

  • Nakoniec zostavíme odpoveď, kde zopakujeme, aké body sme hľadali, pomenujeme útvar a presne ho opíšeme.


 

Tabuľka 1: Dôležité množiny bodov danej vlastnosti v rovine

 

 

 

 



 

Množina...

 

 

Kružnica

 

 

k(S,r)

 

 

..bodov roviny, ktoré majú od bodu S vzdialenosť r

Kružnica

 

g(S,r  + r´)

 

 

...všetkých stredov kružníc, ktoré sa zvonku dotýkajú kružnice k, pričom majú rovnaké polomery

 

Os úsečky AB


 

...bodov X, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od krajných bodov úsečky AB, teda platí: |AX| = |BX|

Os uhla


 

...všetkých bodov, ktoré ležia vnútri daného uhla. Platí pre ne, že majú rovnakú vzdialenosť od polpriamok VA VB (V = vrchol uhla), ktoré sú ramenami uhla AVB.

 

Priamka o, rovnobežná s priamkami a,b (aǁb) vo vzdialenosti v od oboch priamok

 


 

...bodov, ktoré sú od dvoch rovnobežiek rovnako vzdialené

 

 

Dvojica rovnobežiek m,n (mǁn) s danou priamkou vo vzdialenosti d


 

...bodov roviny; každý z bodov má od priamky vzdialenosť d

 

Priamky kolmé na seba (o1 ﬩ o2), na ktorých ležia osi uhlov, ktoré sú určené dvoma rôznobežkami a, a b


 

...bodov roviny rovnako vzdialených od dvoch rôznobežiek a a b

 

Dvojica rovnobežiek mǁn s danou priamkou a vo vzdialenosti


 

...všetkých stredov kružníc s polomerom r, ktoré sa dotýkajú danej priamky a

Os rovnobežných priamok


 

...bodov rovnako vzdialených od dvoch rovnobežných priamok; priamka je s nimi rovnobežná v rovnakej vzdialenosti od oboch priamok

 



 

Pri riešení konštrukčných úloh využívame aj vety o určenosti trojuholníkov:


Tabuľka 2: Prehľad viet o určenosti trojuholníkov


 

 

 

 

Veta/ trojuholník je určený

Označenie

 

Trojuholník možno zostrojiť podľa podmienok:

 

sss/ 3 stranami

 

 

a, b, c

 

 

a + b > c;

 

 

c > a – b;

 

 

(a – b < c < a + b)

 

 

sus/2 stranami a uhlom, ktorý uzatvárajú

 

 

b, c, α

 

0⁰ < α < 180⁰

 

usu/stranou a priľahlými uhlami danej strane

 

 

c, α, β

 

0⁰ < α + β < 180⁰



Pri riešení konštrukčných úloh si riešenie rozčleníme na rozbor náčrt, konštrukciu, skúšku diskusiu:

 

  1. Rozbor a náčrt - hľadáme podmienky, ktorým známym množinám bodov danej vlastnosti patrí prvok určujúci hľadaný útvar; vychádzame pritom z daných podmienok.

  2. Konštrukcia – musí ísť o postupnosť krokov vedúcich k jednoznačnému výsledku pri ľubovoľných konkrétnych vstupných hodnotách zadaných útvarov. Tento postup si v skrátenej forme vždy zapíšeme.

  3. Skúška - robí sa po konštrukcii, presvedčíme sa ňou, či geometrický útvar, ktorý sme zostrojili, vyhovuje zadaniu konštrukčnej úlohy.

  4. Diskusia – zisťujeme podmienky, za akých riešenie konštrukčnej úlohy existuje, resp., koľko má konštrukčná úloha výsledkov riešenia.


Pri niektorých konštrukčných úlohách nám nepostačí použiť množiny bodov danej vlastnosti a používame pri nich stredovú a osovú súmernosť.

 

Pre stredovú súmernosť platí, že, ak máme daný bod v rovine S, existuje práve jedna stredová súmernosť podľa stredu a ak je v rovine daná dvojica rôznych bodov B, existuje práve jedna stredová súmernosť, ktorá zobrazuje A → B B → A a jej stredom je stred úsečky AB.


Pre osovú súmernosť platí, že ak máme danú priamku o, existuje v rovine práve jedna osová súmernosť podľa osi o. Tiež platí, že ak   máme dané dva rôzne body B, tak v rovine existuje práve jedna osová súmernosť, ktorá zobrazuje A → B B → A, pričom osou súmernosti je os úsečky AB.




Otázky:

  1. Odôvodni, že každý bod Y v rovine, ktorý neleží na osi úsečky AB, nespĺňa podmienky |AY| = |BY|.

  2. Zostroj trojuholník KLM, ak: strana l = 7 cm, výška vk = 6 cm; vl = 47 mm.

  3. Body KL sú od seba vzdialené 5 cm. Zostroj priamku prechádzajúcu bodom K. ktorá je od bodu L vzdialená 3 cm.

  4. Zostroj kosoštvorec ABCD, ak dĺžka |AC| je 8 cm a polomer vpísanej kružnice je 3 cm.



Použitá literatúra:


Šedivý, O. a kol.: Matematika pre 8. Ročník základných škôl, 2. časť, SPN, BA, 2006

Koreňová, L.: Zvládni prijímacie skúšky z matematiky na stredné školy ľahšie a účinnejšie!, Aktuell, BA, 2007

Vlastné poznámky