Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová


 

 

Kombinácia, presnejšie kombinácia k - tej triedy z n prvkov množiny M je ľubovoľná k-prvková podmnožina n-prvkovej množiny M. Počet všetkých kombinácií k-tej triedy sa teda často využíva pri riešení úloh, kde je potrebné zistiť, koľkými spôsobmi možno vybrať spomedzi n prvkov skupinu k prvkov, pričom nezáleží na ich poradí výberu.



Rozlišujeme kombinácie bez opakovania a s opakovaním prvkov.

 

  1. Kombinácie bez opakovania

 

DEF: Kombinácia k-tej triedy z n prvkov bez opakovania danej základnej n-prvkovej množiny (0 ≤ k ≤ n) je každá k-tica rôznych prvkov zostavená z prvkov základnej množiny tak, že na poradí prvkov nezáleží a prvky sa neopakujú.

 

Ozn: C(k,n) , resp. Ck(n)


 

Odvodenie vzorca pre výpočet kombinácií bez opakovania:

 

C(k,n) = V(k,n)/P(k) = n(n-1)(n-2).....(n-k+1 )/ k(k-1)(k-2).......3.2.1 = n! / (n-k)! . k! =


Symbol Zdroj: PaedDr. Elena Šimová  sa nazýva kombinačné číslo a číta sa n nad k


 

Vlastnosti kombinačných čísel:


Zdroj: PaedDr. Elena Šimová




Pr. 1. Vypočítaj kombinácie 3-tej triedy z 6 prvkov bez opakovania prvkov.

 

Riešenie:


Keďže ide o kombinácie bez opakovania použijeme vzorec:


C(k,n) = n! / (n-k)! . k!,


pričom n = 6 – celkový počet prvkov množiny


k = 3- počet prvkov, ktoré vyberáme (vytvárame k-tice)


C(3,6) = 6! / (6-3)!.3!

C(3,6) = 720 / 36

C(3,6) = 20




Pr. 2. V rovine je 8 rôznych bodov (žiadne tri neležia na jednej priamke). Koľko rôznych úsečiek dostaneme pospájaním všetkých týchto bodov?


Riešenie:


Každá úsečka je daná dvomi rôznymi bodmi. My máme množinu 8 rôznych bodov, ktoré neležia na jednej priamke, z nich vyberáme dva body, ktoré budú tvoriť úsečku.


Pri výbere prvkov nám na ich poradí nezáleží. Podľa toho vieme, že ide o kombinácie. A keďže sa pri vytváraní úsečky nesmie opakovať ten istý bod, potom ide o kombinácie bez opakovania. Použijeme vzorec:


C(k,n) = n! / (n-k)! . k!,


C(3,8) = 8! / (8-3)!.3!

C(3,6) = 40320 / 720

C(3,6) = 56