Vypracovala: Božena Horváthová

 

 

Kmitavý pohyb je periodický pohyb, pri ktorom teleso pravidelne prechádza rovnovážnou polohou. Častý mechanický oscilátor je napríklad závažie na pružine, guľôčka na niti...

 

Zoberme si pružinový oscilátor:

 

 

Pre veľkosť zrýchlenia harmonického kmitania platí, že zrýchlenie je priamoúmerné výchylke a ≈ - y, znamienko – vyjadruje, že smer zrýchlenia je opačný ako okamžitá výchylka y. Podľa druhého pohybového zákona F = m.a po dosadení F = - m.ω2.y Túto rovnicu nazývame pohybová rovnica harmonického kmitania. Výraz m.ω2 je konštantný . Príčinou harmonického kmitania je teda sila, ktorej veľkosť je priamoúmerná okamžitej výchylke a má opačný smer, v každom okamihu smeruje do rovnovážnej polohy. Pomocou parametrov oscilátora (hmotnosť m, tuhosť pružiny k), F = - k.y. Porovnaním rovníc Uhlová frekvencia závisí len od parametrov oscilátora. Kmitanie sa nazýva vlastné kmitanie oscilátora

 

Podmienku pre harmonické kmitanie spĺňa aj matematické kyvadlo pri výchylkách menších ako 5°.

 

 

U  matematického kyvadla kmitanie vyvoláva pohybová zložka F tiažovej sily FG.

 

Pre malé výchylky /α < 5° / môžeme použiť vzťah pre malý trojuholník: sin α = F / FG

 

Pre veľký trojuholník platí: sin α = y / l; porovnaním dostávame: F = (FG / l).y = {(m.g) / l}.y

 

Smer sily F je opačný ako okamžitá výchylka . Môžeme porovnať s pohybovou rovnicou

 

Premeny energie v mechanickom oscilátore

 

Celková energia kmitajúceho oscilátora sa rovná súčtu kinetickej a potenciálnej energie E = Ek + EF. Potenciálna energia sa rovná práci, ktorá je potrebná na vychýlenie telesa z rovnovážnej polohy. Keďže sila F je priamo úmerná okamžitej výchylke, pri jej určovaní si môžeme pomôcť aj graficky.

 

 

Na obrázku je zakreslená závislosť sily F a okamžitej výchylky. Obsah vyšrafovanej plochy sa číselne rovná práci. EF = W = ½ k.y2; vieme , že k = m.ω2.Po dosadení dostávame: Ep = ½ m.ω2y2 = ½ m.ω2ym2.sin2ω.t

Pre kinetickú energiu dostávame: Ek = ½ m.v2 = ½ m.ym22.cos2 ω.t

 

Celková mechanická energia

 

E = Ep + Ek = ½ m.ω2ym2.sin2ω.t + ½ m.ym22.cos2 ω.t = ½ m.ω2.ym2 = konšt.

 

Využili sme vzťah medzi goniometrickými funkciami cos2 α + sin2 α = 1

Pri harmonickom kmitaní sa periodicky mení potenciálna energia na kinetickú a naopak, celková mechanická energia je konštantná.

 

Pri pružinovom oscilátore má závažie oscilátora najväčšiu kinetickú energiu vtedy, keď prechádza rovnovážnou polohou, vtedy má aj najväčšiu rýchlosť. Potenciálna energia pružnosti je v tomto okamihu nulová. V krajnej polohe oscilátora, keď výchylka je ym , je jeho kinetická energia nulová a potenciálna energia je maximálna.

 

Pri reálnom oscilátore sa amplitúda výchylky postupne zmenšuje. Mechanická energia sa mení na iné druhy energie, napríklad na vnútornú energiu oscilátora a okolitých telies.

 

Takéto kmitanie je tlmené. Tlmenie ovplyvňuje nielen amplitúdu výchylky, ale aj periódu vlastného kmitania. Tlmenie je ovplyvňované vlastnosťami oscilátora, a prostredím v ktorom oscilátor kmitá. Na obrázku vidíme časový diagram tlmeného kmitania.

 

Nútené kmitanie vzniká pôsobením vonkajšej periodickej sily na mechanický oscilátor. Frekvencia kmitov v ustálenom tvare je zhodná s frekvenciou pôsobiacej sily a kmitanie je netlmené. Ak je uhlová frekvencia nútených kmitov zhodná s frekvenciou vlastných kmitov oscilátora nastáva rezonancia. Amplitúda kmitov dosiahne najväčšiu hodnotu a dochádza k rezonančnému zosilneniu nútených kmitov.

 

 

Graf, ktorý vyjadruje závislosť amplitúdy výchylky ym núteného kmitania od jeho uhlovej frekvencie sa nazýva rezonančná krivka.

 

Na grafe vidíme rôzne tlmenie oscilátora, čím je tlmenie menšie, tým je krivka vyššia, amplitúda kmitania bude väčšia.

 

http://www.youtube.com/watch?v=aZNnwQ8HJHU - na tejto adresa môžeme vidieť záznam kedy dochádza k rezonancii.

 

Použitá literatúra:

  • Vladimír Lank, Miroslav Vondra - Fyzika v kocke pre stredné školy

  • Gobel, Schulze-fyzika pre maturantov

  • Pavol Tarábek Zmaturuj z fyziky