Vypracovala: Petra Podmanická


Hyperbola je množina bodov v rovine, ktoré majú od dvoch daných bodov stály rozdiel vzdialeností, t.j. |FX| - |GX| = 2a

 


Pre asymptoty hyperboly platia nasledovné vzťahy: Ak
  1. S[0; 0] → y = k*x = tg φ = ± x* (b/a)

  1. S[m; n] → y - n = ± (x – m)* (b/a)

Obrázok a popis k nemu:

 




V1 a V2 sú vrcholy hyperboly
 
F a G sú tzv. ohniská hyperboly
 
a = |V1 S| = |V2 S| je hlavná polos hyperboly
 
b je vedľajšia polos hyperboly
 
e = |FS| = |GS| je excentricita hyperboly
 
e2 = a2 + b2
 
|FX| a |GX| sú tzv. sprievodiče bodu M


Odvodenie rovnice hyperboly:

 


1. S[0; 0], V1 a V2 ležia na osi „x“

- vychádzame z hlavnej definície hyperboly: |FX| - |GX| = 2a
pre |FX| platí vzťah : sqrt[]{(x+e)^{2}+y^{2}}
pre |GX| platí vzťah : sqrt[]{(x-e)^{2}+y^{2}}

- toto dosadíme do pôvodnej rovnice a upravujeme:
 
Zdroj: /userfiles/image/matematika/hyperbola/hyp2.jpg
 
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1
 
2. S[m; n], V1 a V2 ležia na osi „x“

frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-n)^{2}}{b^{2}}=1
 
3. S[0; 0], V1 a V2 ležia na osi „y“
 
-frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}=1
 
4. S[m; n], V1 a V2 ležia na osi „y“

-frac{(x-m)^{2}}{a^{2}}+frac{(y-n)^{2}}{b^{2}}=1
 
5. Pre dotyčnicu k hyperbole v bode T[xT, yT] platí vzťah:
 
frac{(x_{T}-m)*(x-m)}{a^{2}}-frac{(y_{T}-n)*(y-n)}{b^{2}}=1