Vypracovala: Mária Martinkovičová


 

 

Množinu celých čísel vytvoríme tak, že k množine všetkých prirodzených čísel pridáme množinu všetkých opačných (inverzných) čísel k číslam prirodzeným, t.j. množinu čísel {-1, -2, -3, -4, -5, .....} a číslo 0, ktoré vzniklo ako výsledok operácie odčítania dvoch rovnakých čísel.

 

Celé čísla sú čísla, ktoré vyjadrujú počty prvkov množín, čísla k nim opačné, a číslo 0.

Z = {...-7, -6, -5,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .....}

 

 

Platí:

  • V množine celých čísel možno bez obmedzenia odčítať.

  • Podmnožinou množiny celých čísel je množina prirodzených čísel.

  • Všetky vlastnosti súčinu a súčtu prirodzených čísel, i  tzv. prirodzeného usporiadania množiny prirodzených čísel, ostali v množine celých čísel nezmenené.

 

 

Súčet celých čísel

Definícia 1: Nech a – b, c – d sú dve celé čísla. Potom súčtom týchto dvoch celých čísel nazveme celé číslo reprezentované zápisom (a + c) – (b + d). Píšeme

(a – b) + (c – d) = (a + c) – (b + d)

 

Príklad:

Majme celé čísla 4 – 1, 6 – 2. Na základe definície 1 platí napr.:

(4 – 1) + (6 – 2) = (4 + 6) – (1 + 2) = 10 – 3

 

Vlastnosti súčtu dvoch celých čísel:

Veta 1: Súčet dvoch celých čísel je komutatívna operácia, teda, ak a a b sú celé čísla, tak platí: a + b = b + a

Táto veta nám hovorí, že pri sčítaní dvoch celých čísel nezáleží na poradí sčítancov.

 

Veta 2: Súčet celých čísel je asociatívna operácia: ak a, b a c sú ľubovoľné celé čísla, tak platí: (a + b) + c = a + (b + c).

Teda, pri sčítaní celých čísel možno sčítance ľubovoľne združovať.

 

Veta 3: Celé číslo 0 je neutrálnym prvkom operácie „sčítanie celých čísel“, teda, ak je a ľubovoľné celé číslo, tak a + 0 = 0 + a = a.

Táto veta vraví, že ak pri sčítaní celých čísel je jedným zo sčítancov 0, tak súčet sa rovná druhému sčítancu.

 

Veta 4: Ku každému celému číslu a existuje tzv. opačné celé číslo - (-a), pre ktoré platí: a + (-a) = (-a) + a = 0.

T.j., vzájomné opačné čísla majú tú vlastnosť, že keď ich sčítame, dostaneme súčet, ktorý je rovný číslu 0. Napr. opačné číslo k číslu 3 je číslo -3.

 

Veta 5: Súčet dvoch kladných celých čísel je kladné celé číslo.

Vety 1 – 4 spolu s vetou 5 nám zaručujú, že vlastnosti sčítania prirodzených čísel ostanú nezmenené, ak budeme s nimi pracovať ako s celými číslami.

 

Veta 6: Súčet dvoch záporných čísel je záporné číslo.

 

 

Definícia 2: Nech a a b sú dve ľubovoľné celé čísla. Rozdielom celých čísel a a b v tomto poradí nazveme celé číslo a – b definované takto: a – b = a +(-b).

Pod zápisom –b chápeme opačné celé číslo k celému číslu b. Nech a – b a c – d sú dve ľubovoľné celé čísla, na základe tejto definície potom: (a – b) – (c – d) = (a – b) + (d – c) = (a + d) – (b + c).

Príklad: Majme dve celé čísla a = 6 – 3 a b = 3 – 2, potom pre ich rozdiel platí:

a – b = (6 – 3) – (3 – 2) = (6 – 3) + (2 – 3) = (6 + 2) – (3 + 3) = 8 – 6

 

 

V množine celých čísel Z možno neobmedzene odčítať , teda, rozdielom ľubovoľných dvoch celých čísel je celé číslo.

 

 

Súčin celých čísel

Definícia 3: Nech a – b a c – d reprezentujú dve ľubovoľné celé čísla. Súčinom týchto celých čísel pomenujeme celé číslo (a – b) . (c – d) definované nasledovne: (a – b) . (c – d) = (ac + bd) – (ad + bc)