Teoretická časť

 

Rovina je základný geometrický útvar. Je to plocha určená troma bodmi alebo priamkou a bodom ležiacim mimo nej, alebo dvoma priamkami. Je to dvojrozmerný geometrický útvar, ktorý si môžeme predstaviť ako neobmedzenú, dokonale rovnú plochu


Zdroj: Petra Podmanická

 

Zdroj: Ing. Petra Podmanická

 

Zdroj: Ing. Petra Podmanická

 

 

Analyticky môžeme rovinu definovať pomocou dvoch základných typov rovníc, a to:

 

  1. Parametrické rovnice roviny

Majme bod A [a1, a2, a3] a dva nenulové, rôznobežné vektory u[u1, u2, u3] a v[v1, v2, v3]. Pre rovinu, ktorá je rovnobežná s oboma vektormi a prechádza ňou bod A, platia nasledovné rovnice, ktoré sme odvodili nasledovným spôsobom:7



Zdroj: Ing. Petra Podmanická

 

čiže

 

X – A = t* + s*

X = A + t*+ s*

 

a po rozpísaní na zložky

 

x = a1 + t*u1 + s*v1

y = a2 + t*u2 + s*v2

z = a3 + t*u3 + s*v3


 

  1. Všeobecné rovnice roviny

Všeobecnú rovnicu roviny dostaneme podobne ako to bolo v prípade priamky z jej parametrického vyjadrenia, a to tak, že odstránime parametre t a s. Budeme teda riešiť sústavu troch rovníc o dvoch neznámych. Všeobecná rovnica roviny má tvar:

 

a*x + b*y + c*z + d = 0

 

Platí pri tom:

 

  • a = 0 – rovina je rovnobežná s osou x

  • b = 0 – roviny je rovnobežná s osou y

  • c = 0 – rovina je rovnobežná s osou z

  • d = 0 – roviny prechádza začiatkom súradnicovej sústavy

     

     

     

Vzdialenosť bodu od roviny

 

Majme bod A [a1, a2, a3] a rovinu R: ax + by + cz + d = 0. Vzdialenosť bodu A od roviny R, vypočítame podľa vzťahu:


Zdroj: Ing. Petra Podmanická


Majme zadanú priamku q, ktorej smerový vektor je u. Majme tiež zadanú rovinu R, ktorej normálový vektor je r a rovinu P, ktorej normálový vektor je p. Môžeme počítať dva typy príkladov:

 

  1. Uhol, ktorý zvierajú dve roviny


Zdroj: Ing. Petra Podmanická


  1. Uhol, ktorý zviera priamka q s rovinou R


Zdroj: Ing. Petra Podmanická


 

 

Vzdialenosť dvoch rovín:

 

Vzdialenosť dvoch rôznobežných rovín je 0 a vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín za predpokladu, že sú tieto vyjadrené vo všeobecnom tvare, dostaneme zo vzťahu:

 

Zdroj: Petra Podmanická



Zopakujte si:
1. Čím môže byť daná rovina?

2. Aké typy vyjadrení (čo do rovníc) pre rovinu poznáte? Napíšte ich

3. Ako vypočítame vzdialenosť bodu od roviny?

4. Ako vypočítame uhol dvoch rovín? Ako vypočítame uhol priamky a roviny?

Použitá literatúra:
Prehľad z matematiky 2 od RNDr. Vladimír Burjan a kol.
Vlastné poznámky