Rovina je základný geometrický útvar. Je to plocha určená troma bodmi alebo priamkou a bodom ležiacim mimo nej, alebo dvoma priamkami. Je to dvojrozmerný geometrický útvar, ktorý si môžeme predstaviť ako neobmedzenú, dokonale rovnú plochu

Riešenie:

V prvom rade si musíme zistiť, či tieto body neležia na jednej priamke. Urobíme to tak, že si vytvorím z týchto bodov dva vektory a budeme skúmať, či sú alebo nie sú rovnobežné, t.j. či je jeden násobkom toho druhého:

PQ = Q – P = -1, 0, 1

PR = R – P = 0, -1, -2

Zo súradníc môžeme vidieť, že vektory si nie sú navzájom násobkom

Vezmeme si bod P a vektory PQ a PR a urobíme z nich veľmi jednoduchým spôsobom parametrické vyjadrenie:

X = P + t* PQ + s*PR

z = 3 + t – 2s

Všeobecnú rovnicu roviny dostaneme tak, že odstránime parametre t a s. Budeme teda riešiť sústavu troch rovníc o dvoch neznámych:

t = 1 – x (dosadím do tretej rovnice)

s = 2 – y (dosadím do tretej rovnice)

z = 3 + (1 – x) – 2*(2 – y)

z = 3 + 1 – x – 4 + 2y

P: x – 8y + z = 0

Q: x – z + 1 = 0

Riešenie:

Určíme si normálové vektory rovín a tieto potom dosadíme do vzorca, pomocou ktorého vieme vypočítať uhol dvoch rovín:

y = 2 – 3t

z = 5t

Riešenie:

Určíme si normálový vektor roviny (u) a smerový vektor priamky (v):

u = [1, 1, 1]

v = [1, -3, 5]

určíme si ich skalárny súčin

u.v = [1, 1, 1].[1, -3, 5] = (1*1 + 1*(-3) + 1*5) = 3 ≠ 0, čiže priamky sú rôznobežné

teraz si určíme ich priesečník a to tak, že do rovnice roviny za x, y, z dosadíme rovnicu priamky, určíme hodnotu parametra t, tento potom dosadíme do parametrického vyjadrenia priamky a nájdeme hodnoty súradní priesečníka:

(1 + t) + (2 – 3t) + (5t) + 1 = 0

3t + 4 = 0

t = -4/3

Súradnice priesečníka:

x = 1 + t = 1 – 4/3 = -1/3

y = 2 – 3t = 2 – 3*(-4/3) = 6

z = 5t = 5*(-4/3) = -20/3