Vypracovala: Mgr. Mária Martinkovičová, PhD.


 

 

 

Algebricky výraz je taký výraz, v ktorom sa okrem čísiel a znamienok vyskytujú aj písmená, ktoré označujú neznáme hodnoty nejakej premennej veličiny. Takéto písmená vo výrazoch nazývame premenné. Napríklad vo výraze (10x + 3) – 8x je premennou písmeno x, ktoré zastupuje premennú hodnotu nejakej veličiny. Číselná hodnota pred písmenkom, (v našom príklade 10 a 8) sa nazýva číselný koeficient.

 

 

Hodnotu algebrického výrazu vypočítame tak, že za premennú (v našom príklade x) dosadíme konkrétne číslo.

 

Výrazy rozdeľujeme podľa toho, z koľkých členov sa skladajú. Tak poznáme jednočleny, dvojčleny, trojčleny, štvorčleny, päťčleny,...až mnohočleny:

  1. jednočleny – výrazy zložené z jedného člena, napr. 15b alebo ;

  2. dvojčleny – sú súčtom alebo rozdielom dvoch jednočlenov, napr. 10r + 15

  3. trojčleny – sú súčtom alebo rozdielom troch jednočlenov, napr. 7ab + 3a - b

  4. štvorčleny, päťčleny, .... mnohočleny – sú súčtom alebo rozdielom štyroch, piatich,...jednočlenov

 

 

Súčet (sčítavanie) výrazovsčítame koeficienty pri členoch, ktoré obsahujú rovnaké premenné s rovnakými exponentmi, napr:


5a^{2} - 7x + x - 2a^{2} = 3a^{2}-6x

 

 

Rozdiel (odčítavanie) výrazov - pričítame opačný výraz. Ak je pred zátvorkou znamienko mínus, všetky znamienka v zátvorke sa zmenia na opačné.

 

-(5x + 3y^{2} - 7x^{2}) = -5x - 3y^{2} + 7x^{2}

 

 

Násobenie (súčin) výrazovkaždý člen jedného výrazu násobíme postupne každým členom druhého výrazu. Takto vzniknuté súčiny sčítame. V prípade, že premenná v niektorom výraze (alebo v oboch výrazoch) je umocnená exponentom, potom súčin mocnín tej istej premennej umocníme súčtom exponentov, napr.:

 

3x^{3}. 5x^{5}= 3.5x^{3+5}=15x^{8}

 

 

Úprava výrazu na súčin– pokiaľ máme viacčlenný výraz, a jeho jednotlivé členy sú násobky, môžeme najväčšieho spoločného deliteľa všetkých členov výrazu napísať (vyňať) pred zátvorku, v ktorej ostanú členy vydelené vyňatým členom alebo výrazom. Rovnako môžeme vyňať dvojčlen, ktorého násobky sa vo výraze nachádzajú.

 

 

Príklad: Na súčin treba upraviť tento výraz: . 3u+3+uv+v

 

Riešenie: Výraz rozložíme postupne – keďže vidíme, že po dva krát sa vo výraze vyskytuje číslo „3“ a premenná „v“, v prvom kroku vyjmeme – v prvej časti výrazu „3“ a v druhej časti výrazu vyjmeme premennú „v“.


3u+3+uv+v = 3 (u+1) + v(u+1) = (u+1)(3+v)

 


 

Pri úprave algebrických výrazov používame tieto základné vzorce:

Zdroj: Mgr. Mária Martinkovičová, PhD.

 

Lomené výrazy sú vlastne zlomky, ktorými, ako vieme, zapisujeme delenie. Algebrické lomené výrazy obsahujú jednu alebo viac premenných veličín v menovateli. Pre niektoré hodnoty premennej (premenných) nadobúda menovateľ v lomených výrazoch nulovú hodnotu – taký výraz nemá však zmysel, rovnako, ako zlomok má zmysel len vtedy keď menovateľ nie je rovný nule – nulou nikdy nedelíme. Preto pri úpravách lomených výrazov je dôležité uviesť, pre ktoré hodnoty premennej alebo premenných výraz nemá zmysel. Pri určovaní či, a za akých podmienok je lomený výraz riešiteľný, máme vždy na pamäti túto vetu: Súčin dvoch alebo viacerých činiteľov sa rovná nule, ak sa rovná nule aspoň jeden činiteľ.

 

Pri riešení úloh s lomenými výrazmi vždy pozorne čítajme znenie zadania. Pokiaľ máme určiť, kedy výraz nemá zmysel, do podmienok zapíšeme znamienko „=“ - vyjadríme tak „nie je riešiteľný pre...“. Naopak, pokiaľ máme určiť, kedy výraz má zmysel – teda, je „riešiteľný pre...“, v podmienkach zapíšeme znamienko „≠“.

 

 

Príklad: Určte, pre aké x nemá výraz rac{2x+10}{7x-3} zmysel?

 

Riešenie:Vieme, že výraz nemá zmysel vtedy, ak menovateľ (7x-3=0) je rovný nule. Keďže máme určiť pre aké x nemá výraz zmysel, z rovnice si vyjadríme x:

7x-3=0

x=rac{3}{7}

 

Teda, výraz rac{2x+10}{7x-3} nemá zmysel vtedy, ak x=rac{3}{7}.


 

 

 

Krátenie a rozširovanie lomených výrazov

 

 

Pri krátení lomených algebrických výrazov platí rovnaké pravidlo ako pri krátení zlomkov: čitateľa, aj menovateľa delíme tým istým číslom, alebo výrazom, ktoré je rôzne od nuly. Pred samotným krátením upravíme čitateľa aj menovateľa na súčin vynímaním alebo pomocou vzorcov.

 

Pri rozširovaní lomených algebrických výrazov vynásobíme čitateľa aj menovateľa tým istým číslom alebo výrazom rôznym od nuly.

 

Podmienky riešiteľnosti daného výrazu potom určujeme z menovateľa upraveného na súčin.

 

 

Príklad: Rozšírte výraz rac{4b}{b+3} výrazom 5b a zapíšte podmienky kedy je výraz platný.

 

 

Riešenie: rac{4b}{b+3}= rac{4b.5b}{(b+3).5b}=rac{20b^{2}}{5b^{2}+15b}

 


 

 

 

Sčítavanie (súčet) a rozdiel (odčítavanie) lomených výrazov

 

 

Pri sčítaní a odčítaní lomených výrazov postupujeme podobne ako pri sčítaní a odčítaní zlomkov: Pokiaľ sčítavame alebo odčítavame výrazy s rovnakým menovateľom, jednotlivé výrazy v čitateľovi sčítame, resp. odčítame a menovateľa odpíšeme. Nezabudneme určiť podmienky riešiteľnosti.


 

Príklad: Sčítajte výrazy rac{2a}{x}+rac{3b}{x}+rac{8c}{x} a určte podmienky riešiteľnosti!

 

Riešenie: rac{2a}{x}+rac{3b}{x}+rac{8c}{x}= rac{2a+3b+8c}{x} x
eq 0

 

 

V prípade, že sčítavame (odčítavame) lomené výrazy s rôznymimenovateľmi, najskôr upravíme lomené výrazy na rovnakého menovateľa, ktorým je obyčajne najmenší spoločný násobok výrazov v menovateli. Následne čitatele rozšírime a sčítame (resp. odčítame). Potom súčet (alebo rozdiel), ak sa dá, krátime. Podmienky riešiteľnosti výrazu určíme potom zo súčinu výrazov, ktoré tvoria rovnakého menovateľa.

 

 

Príklad: Sčítajte výraz rac{x+1}{x^{2}-2x}+rac{x+1}{x^{2}-2x}-rac{2x}{x^{2}-4} a určte, za akých podmienok nemá zmysel!

 

Riešenie: Výrazy si najskôr upravíme tak, aby sme jednoduchšie našli najmenší spoločný násobok menovateľov:

 

rac{x+1}{x^{2}-2x}+rac{x+1}{x^{2}-2x}-rac{2x}{x^{2}-4}= rac{x+1}{x(x-2)}+rac{x+1}{x(x-2)}- rac{2x}{(x-2).(x+2)}

 

Následne zlomky sčítame a výsledok vykrátime (spoločným menovateľom bude výraz x(x-2)(x+2)) :

 

rac{x+1}{x(x-2)}+rac{x+1}{x(x+2)}-rac{2x}{(x-2)(x+2)}=rac{(x+1)(x+2)+(x+1)(x-2)-2x.x}{x(x-2)(x+2)}=rac{2x}{x(x^{2}-4)}=rac{2}{(x^{2}-4)}

 

Výraz nemá zmysel ak: x=2, x=-2, x=0

 

 

 

 

Súčin (násobenie) a podiel (delenie) lomených výrazov

 

 

 

Násobiť lomený výraz môžeme:

 

  1. celistvým výrazom – vynásobíme čitateľa lomeného výrazu a menovateľa odpíšeme.

  2. zlomkom (lomeným výrazom) – vynásobíme čitateľa prvého zlomku čitateľom 2.zlomku a menovateľa 1.zlomku menovateľom 2.zlomku.

 

 

V oboch prípadoch násobenia - výsledok ak sa dá, krátime a určíme podmienky riešiteľnosti.

 

Deliť lomený výraz iným lomeným výrazom znamená násobiť jeho prevrátenou hodnotou.

 

 

Príklad: Vypočítajte: (4-rac{x^{2}}{y^{2}}):rac{2y-x}{y^{2}}

 

Riešenie: 1. Upravíme výraz v zátvorke,

2. prvý zlomok násobíme prevrátenou hodnotou druhého zlomku:

 

(4-rac{x^{2}}{y^{2}}):rac{2y-x}{y^{2}} = rac{4y^{2}-x^{2}}{y^{2}}.rac{y^{2}}{2y-x}=rac{(2y-x)(2y+x)}{2y-x}= 2y+x

 

Podmienky riešiteľnosti: Výraz nemá zmysel ak: y=0, x=2y


 

 

 

Zložené lomené výrazy

 

 

 

V zložených lomených výrazoch rozlišujeme hlavnú zlomkovú čiaru, vnútorné členy a vonkajšie členy: Napr. v zloženom lomenom výraze

 

rac{rac{x}{x+2}}{rac{a+3}{d}}

 

sú vonkajšie členy premenné x a d a vnútorné výrazy (x+2) a (a+3).

 

Zložený lomený výraz upravujeme tak, že súčin vonkajších členov delíme súčinom vnútorných členov, v našom príklade:

 

rac{rac{x}{x+2}}{rac{a+3}{d}}= rac{x}{x+2}:rac{a+3}{d}=rac{x}{x+2}.rac{d}{a+3}

 

Pričom x
eq-2, a
eq-3, d
eq0 (čítame: x sa nesmie rovnať mínus dva; a sa nesmie rovnať mínus 3 a d sa nesmie rovnať nule)

 

 

 

 

Neriešené príklady:

 

 

 

1.Vynásobte zlomky a potom upravte!

 

rac{(a+2)^{2}}{a^{2}-6a}.rac{3a-18}{4+2a}

 

2. Zložený výraz upravte a určte podmienky riešiteľnosti:


rac{1+rac{x}{y}}{y-rac{x^{2}}{y}}

 

 


 

Použitá literatúra:

 


Šedivý O. a kol: Matematika pre 9.ročník základných škôl, SPN, Bratislava, 2001

Koreňová L.: Zvládni prijímacie skúšky z matematiky na stredné školy ľahšie a úspešnejšie, Aktuell BA, 2007

vlastné poznámky