Absolútna hodnota reálneho čísla ǀaǀ je „zabijak“ mínusu.


  • ak a ≥ 0  ǀaǀ = a.

  • ak a < 0  ǀaǀ = - a záporné znamienko sa zmení na kladné.


Teda:

  • s kladnými (nezápornými) číslami absolútna hodnota nič nerobí, napr.:

ǀ3ǀ = 3

martinkovicova

  • záporné čísla absolútna hodnota zmení na kladnú – vynásobí ich „-1“, napr.:

ǀ-3ǀ = 3

martinkovicova

Mínus pred a o znamienku čísla nehovorí nič. Hovorí len, že ak hodnotu a  vynásobíme „-1“, zmeníme tým znamienko čísla a a pokiaľ je a záporné, dostaneme tým kladné číslo.


Zapamätáme si:

  • ǀaǀ - vždy nezáporné číslo

  • kladná hodnota rieši problém so znamienkom, ktoré sa pri umocňovaní stratí – platí: √a2 = ǀaǀ

  • absolútne hodnoty opačných čísiel sa rovnajú: ǀ4ǀ = ǀ-4ǀ; ǀaǀ = ǀ-aǀ


 

Počtové operácie s absolútnymi hodnotami reálnych čísiel:

Príklad:

Spočítaj:

a) ǀ-3 + ǀ-2ǀǀ

b) ǀ-6 + (-2). ǀ3-2ǀǀ - 7

c) ǀ3 - ǀ1ǀ + 5ǀ-2ǀǀ - ǀ4.(-2) ǀ


Riešenie:

a) ǀ-3 + ǀ-2ǀǀ = ǀ-3 + 2ǀ= ǀ-1ǀ = 1

b) ǀ-6 + (-2). ǀ3-2ǀǀ - 7 = ǀ-6 +(-2). ǀ1ǀǀ - 7 = ǀ-6 + (-2).1ǀ - 7 = ǀ-6 - 2ǀ - 7 = ǀ-4ǀ - 7 = 4 – 7 = -3

c) ǀ3 - ǀ1ǀ + 5ǀ-2ǀǀ - ǀ4.(-2) ǀ = ǀ3 – 1 + 10ǀ - ǀ-8ǀ = ǀ12ǀ - ǀ-8ǀ = 12 – 8 = 4


Vidíme, že v b) vyšlo ako výsledok záporné číslo, i keď výraz obsahoval absolútnu hodnotu. Tá však zaistí nezápornosť výrazu len vtedy, ak je posledné v poradí.

 

 

Geometrická interpretácia absolútnej hodnoty

Absolútna hodnota je rovná vzdialenosti obrazu čísla na číselnej osy od počiatku ⟹ vždy je kladná a zhodná pre opačné čísla.


Napr.: ǀ4ǀ = ǀ-4ǀ = 4

„4“ a „-4“ majú rovnakú vzdialenosť od nuly:


martinkovicova

 

K zobrazeniu na číselnej osi používame dva druhy „koliesok“:

  • prázdne koliesko – označujeme ním obrazy čísel, ktoré nerovnosti nevyhovujú; t.j. číslo v prázdnom koliesku nepatrí medzi čísla, ktoré hľadáme.

  • plné koliesko –označujeme ním obrazy čísel, ktoré nerovnosti vyhovujú; resp. číslo v plnom koliesku patrí medzi čísla, ktoré sme hľadali.


Príklad:

Na číselnej osi znázorni všetky reálne čísla, pre ktoré platí:

a) ǀaǀ = 2  b) ǀbǀ ≤ 2  c) ǀaǀ > 2  d) ǀaǀ ≥ 0,5  e) ǀaǀ < 2  f) ǀaǀ ≤ -1


Riešenie:

a) ǀaǀ = 2 

 

martinkovicova

 

 

b) ǀbǀ ≤ 2 

 

martinkovicova